千题百炼――高考数学100个热点问题(一)：第22炼 恒成立问题――参变分离法

第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数第22炼恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：21logaxx，111axxex等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x为自变量，其范围设为D，fx为函数；a为参数，ga为其表达式）（1）若fx的值域为,mM①,xDgafx，则只需要mingafxm,xDgxfx，则只需要mingafxm②,xDgafx，则只需要max=gafxM,xDgafx，则只需要max=gafxM③,xDgafx，则只需要maxgafxM,xDgafx，则只需要maxgafxM④,xDgafx，则只需要mingafxm第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数,xDgafx，则只需要mingafxm（2）若fx的值域为,mM①,xDgafx，则只需要gam,xDgafx，则只需要gam（注意与（1）中对应情况进行对比）②,xDgafx，则只需要gaM,xDgafx，则只需要gaM（注意与（1）中对应情况进行对比）③,xDgafx，则只需要gaM（注意与（1）中对应情况进行对比）,xDgafx，则只需要gaM④,xDgafx，则只需要gam（注意与（1）中对应情况进行对比）,xDgafx，则只需要gam5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题：例1：已知函数xxfxeae，若'()23fx恒成立，则实数a的取值范围是_______思路：首先转化不等式，'()xxfxeae，即23xxaee恒成立，观察不等式a与xe便于分离，考虑利用参变分离法，使,ax分居不等式两侧，223xxaee，若不等式恒成立，只需2max23xxaee，令222333xxxgxeee（解析式可看做关于xe的二次函数，故配方求最值）max3gx，所以3a答案：3a例2：已知函数lnafxxx，若2fxx在1,上恒成立，则a的取值范围是第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数_________思路：恒成立的不等式为2lnaxxx，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：233lnlnlnaxxxxaxaxxxx，其中1,x只需要3maxlnaxxx，令3lngxxxx'2()1ln3gxxx（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将lnx变为1x，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定'gx的符号，不妨先验边界值）'12g，2''11660xgxxxx，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）'gx在1,单调递减，''10()gxggx在1,单调递减11gxg1a答案：1a小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。例3：若对任意xR，不等式23324xaxx恒成立，则实数a的范围是．思路：在本题中关于,ax的项仅有2ax一项，便于进行参变分离，但由于xR,则分离参数时要对x的符号进行讨论，并且利用x的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到a的范围，2233322344xaxxaxxx，当0x时，min32314axx，而33331312312444xxxxxx221aa；当0x时，不等式恒成立；当0x时，max32314axx，而333113244xxxx221aa综上所述：11a答案：11a小炼有话说：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数对值，在本题中对x进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。（2）在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。（3）注意最后确定a的范围时是三部分取交集，因为是对x的取值范围进行的讨论，而无论x取何值，a的值都要保证不等式恒成立，即a要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。例4：设函数2()1fxx，对任意的23,,4()(1)4()2xxfmfxfxfmm恒成立，则实数m的取值范围是________________思路：先将不等式进行化简可得：222221411141xmxxmm，即22221423mxxxm，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以2x，可得：2222min1234xxmmx，2222311321xxgxxxx，120,3x最小值2533g，2422154125303mmmm即2231430mm解得：33,,22m答案：33,,22m小炼有话说：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于m的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数例5：若不等式2322xxxax对0,4x恒成立，则实数a的取值范围是．思路：2323min2222xxxxxxaxax，令2322xxxfxx，对绝对值内部进行符号讨论，即22222,242222,02xxxxfxxxxxxxx，而222yxxx在2,4单调递增，222yxxx在0,2单调递减，可求出min222fxf22a答案：22a例6：设正数2221,xexexfxgxxe，对任意12,0,xx，不等式121gxfxkk恒成立，则正数k的取值范围是（）思路：先将k放置不等号一侧，可得211kfxgxk，所以21max1kfxgxk，先求出gx的最大值，'21xgxexe，可得gx在0,1单调递增，在1,单调递减。故max1gxge，所以若原不等式恒成立，只需21kfxek，不等式中只含1,kx，可以考虑再进行一次参变分离，2211kfxkeefxkk，则只需2min1kefxk，222211122exfxexexexxx，2min2fxe所以12keek解得：1k答案：1k例7：已知函数221ln,,1xfxaxaxxaRgxex，若对于任意的第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数120,,xxR，不等式12fxgx恒成立，求实数a的取值范围思路：fx含有参数a，而gx为常系数函数，且能求出最值，所以以gx为入手点：若12fxgx恒成立，则只需1minfxgx。可求出min0gx，进而问题转化为10,x，211121ln0axaxx恒成立，此不等式不便于利用参变分离求解，考虑利用最值法分类讨论解决解：12fxgx恒成立只需1minfxgx由1xgxex得：'1xgxe，令'0gx解得：0xgx在,0单调递减，在0,单调递增min00gxg10,x，211121ln0axaxx恒成立即只需max0fx2'22112111221axaxaxxfxaxaxxx当0a时，令21axa则21211lnln20aafaaa，与0fx矛盾当0a时，210ax'0fx解得1xfx在0,1单调递增，在1,单调递减max1211fxfaaa101aa综上所述：1,0a小炼有话说：（1）在例6，例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方法解决。（2）在本题处理0fx恒成立的过程中，对令21axa这个反例，是通过以下两点确第三章第22炼恒成立问题——参变分离法导数定的：①0a时估计fx函数值的变化，可发现当x时，2210axax（平方比一次函数增长的快）②在选取特殊值时，因为发现1x时，lnx已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程221121020aaxaxxaa，刚好符合反例的要求。例8：若不等式22xxyaxy对任意正数,xy恒成立，则正数a的最小值是（）A.1B.2C.122D.221思路：本题无论分离x还是分离y都相对困难，所以考虑将,xy归至不等号的一侧，致力于去求,xy表达式的最值：max2222xxyxxyaxyaxy，从22xy入手考虑使用均值不等式：22222xyxyxy2222xxyxxyxyxy