千题百炼第62炼 点线面位置关系

点线面位置关系的判定立体几何点线面位置关系的判定一、基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线l与平面上的一条直线平行，则l∥（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线l与平面上的两条相交直线垂直，则l（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量点线面位置关系的判定立体几何2、向量关系与线面关系的转化：设直线,ab对应的法向量为,ab，平面,对应的法向量为,mn（其中,ab在,外）（1）a∥ba∥b（2）abab（3）aa∥m（4）aam∥（5）mn∥∥（6）mn3、有关向量关系的结论（1）若,abbc∥∥，则ac∥平行+平行→平行（2）若,abbc∥，则ac平行+垂直→垂直（3）若,abbc，则,ac的位置关系不定。4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假二、典型例题：例1：已知,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，现给出下列命题：①若,,,mnmn∥∥，则∥；②若,m，则m；③若,mm∥，则；④若,mnm∥，则n∥．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3点线面位置关系的判定立体几何思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中,mn不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而②中m不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设,对应法向量为,mn，直线m方向向量为a，则条件转换为：,aman∥，可推得mn，即，③正确；④为线面平行判定，要求n在外，所以④错误；综上只有1个命题正确答案：B例2：已知,,mnl是不同的直线，,是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，,mn，则∥；②若,mn，∥lm，，则ln；③若,,mn∥，则m∥n；④若，m∥，n∥，则mn；A．②③B．③④C．②④D．③思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题①两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面ABCD和平面11CCDD中，虽然11ABCD∥，但两个平面不平行，所以①错误②例如：平面ABCD∥平面1111ABCD，BDAC，但BD与11AB不垂直，所以②错误③考虑利用向量帮助解决：,,mmnn∥∥∥∥，所以可以推断mn∥，所以可得m∥n④考虑利用向量解决：,,mmnn∥∥，由垂直关系不能推出mn，所以④错误答案：DA1B1ABCDC1D1点线面位置关系的判定立体几何例3：对于直线,mn和平面,，∥的一个充分条件为（）A.,,,mnmn∥∥B.,,mnmn∥∥∥C.,,mnmn∥D.,,mnmn思路：求∥的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定∥的条件，A选项：例如正方体中的平面ABCD和平面11CDDC可知虽然AB∥平面11CDDC，11CD∥平面ABCD，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出∥，C选项可用向量模型进行分析：,,mnmnmmnn∥∥∥∥，所以可得：∥，即∥；D选项可利用A选项的例子：1,mBCnCC，可知,mnm平面11CDDC，n平面ABCD，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为∥的一个充分条件答案：C例4：给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分别判断四个命题：①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；②该命题为面面垂直的判定，正确；③空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④A1B1ABCDC1D1点线面位置关系的判定立体几何答案：D例5：已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A．若m，n，则mnB．若m∥，n∥则m∥nC．若m，mn，则n∥D．若m∥，mn，则n思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确B选项可用向量判断，m∥m，n∥n，由m，n无法判断出,mn的关系，所以不能推出m∥n；C选项并没有说明直线n是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，m∥m，mnmn，同理由,mmn无法判断,n的情况，所以无法推断出n，综上所述：A正确答案：A例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m平面，直线nm，则n∥；④,ab是异面直线，则存在唯一的平面，使它与,ab都平行且与,ab距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：如图，平面,,,,ACBD∥，且,EF分别为,ABCD的中点，过C作CGAB∥交于G，连接,BGGD，设H是CG的中点,EHBGHFGD∥∥,EHHF∥∥点线面位置关系的判定立体几何∥平面EHF∥,EFEF∥∥③命题中没有说明直线n是否在上，所以不正确；④正确，设AB为异面直线,ab的公垂线段，E为AB中点，过E作,ab的平行线'',ab，从而由'',ab确定的平面与,ab平行且与,ab的距离相等。所以该平面即为所求。答案：D例7：下列命题正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l∥，则与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l∥，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3思路：①“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②若l∥，说明l与没有公共点，所以l与上任意一条直线m都没有公共点，但即使,lm无公共点，,lm的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，l与上任意一条直线m都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个答案：B例8：直线,ab为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在,ab上的任何一点，可作一个平面与,ab都平行B.过不在,ab上的任何一点，可作一个直线与,ab都相交C.过不在,ab上的任何一点，可作一个直线与,ab都平行D.过a有且只有一个平面与b平行思路：A选项中，如果P点与a确定的平面与b平行，则此平面只和b平行，a在此平面上，所以这样的P是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过P的直线l与a相交，则l也在该平面上，所以l与b无公共点；若过P的直线l与b相交，则无法与a相交，综上所述对于这样的P点无法作出符合条件的直线；C选项如果过P的直线与,ab点线面位置关系的判定立体几何均平行，则由平行公理可知ab∥，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果,ab异面，则过a只能做出一个平面与b平行。在a上取,AB两点分别作b的平行线,cd，则,cd所唯一确定的平面和b平行，且a在此平面上。所以D正确答案：D例9：设,lm是两条异面直线，P是空间任意一点，则下列命题正确的是（）A.过P点必存在平面与两异面直线,lm都垂直B.过P点必存在平面与两异面直线,lm都平行C.过P点必存在直线与两异面直线,lm都垂直D.过P点必存在直线与两异面直线,lm都平行思路：A选项，若平面与,lm均垂直，则推得lm∥，与,lm异面矛盾；B选项如果P点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲,lm平移至共面，过P的直线只需与这个平面线面垂直，即和,lm都垂直，所以C正确；D选项如果直线与,lm均平行，则由平行公理可得lm∥，与,lm异面矛盾。所以C正确答案：C例10：设,,lmn是不同的直线，,,是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）A.若m∥n，m∥，n在外，则n∥B.若,,l，则lC.若∥,,lm，则l∥mD.若,,,,ACBDABCD∥，且ABCD，则∥思路：A选项可通过向量来判断：,mnmnmm∥∥∥，由此可得：n，因为n在外，所以可判定n∥，A正确；B选项设,mn，则上所有点的投影落在m中，上所有点的投影落在n中，因为l，所以l上所有点的投影均在,mn的交点上，即l，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，点线面位置关系的判定立体几何第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确答案：D三、历年好题精选1、（2016，山东胶州高三期末）设,,为不同的平面，,,mnl为不同的直线，则m的一个充分条件为（）A.,,lmlB.,,mC.,,mD.,,nnm2、给出下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面”；③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．其中正确命题的序号是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面,,，且,,abc，给出下列命题（）①若,abac，则bc②若abP，则acP③若,abac，则④若ab∥，则ac∥其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3