运筹学线性规划的标准形式

第三节线性规划的标准形式为什么要转化为标准形式？标准形式的特点：1、目标函数求最大值（max）；（不一定）2、所有的约束条件均由等式表示（=）；3、所有的决策变量限于非负值（xj≥0）；4、每一个约束条件等式的右端常数均为非负值（bi0)。（不一定）数学模型如下0,,,..max21221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcS改造方法（1）１、若目标函数求最小值，则在函数式前加上“－”号，转化为求最大值。转化后目标函数的最优解不变，最优值差一个符号。例：jjxcFminjjxcFSminmax改造方法（2）2、若约束条件中，某些常数项bi为负数，则可先在约束条件等式或不等式两边乘上“-1”，使得bi≥0。例：3jijxa3jijxa改造方法（3）3、若约束条件不等式符号为“≤”，则在不等式左边加上一个非负变量（称为松弛变量），把不等式改为等式。例：ijijbxaimmjjijbxxa11新设一个非负变量改造方法（4）4、若约束条件不等式符号为“≥”，则在不等式左边减去一个非负变量（称为剩余变量），不等式改为等式。例：ijijbxaimmjjijbxxa11新设一个非负变量改造方法（5）5、若约束条件中，某些决策变量没有非负要求：①xj≤0，则令新变量xj’=-xj；②xj无符号限制，则可增设两个非负变量Vk≥0,Uk≥0，令原变量Xk=Vk-Uk，代入原线性规划问题的目标函数及约束条件。例1无符号限制43214321432143214321,0,0,02232142224..5243minxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxF步骤1：minmax43215243minxxxxF43215243minmaxxxxxFS步骤2：bi0bi02244321xxxx2244321xxxx步骤3：“≤”“=“引入新变量(松弛变量）x5≥0，将约束条件不等式变为等式。1424321xxxx14254321xxxxx+松弛变量步骤4：“≥”“=”引入新变量（剩余变量）x6≥0，将约束条件不等式变为等式。22324321xxxx223264321xxxxx—剩余变量步骤5：满足变量非负条件设新变量x7≥0，令x7=-x2，带入目标函数和约束条件中。设两个新变量x8≥0，x9≥0，令x4=x8-x9，带入目标函数和约束条件中。整理得：整理后数学模型为：9,8,7,6,5,3,1,022232142224..0055243max698371598371983716598371jxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxSj松弛变量与剩余变量概念：松弛变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≤”，则在不等式左边加入一个非负变量，这个非负变量成为松弛变量。剩余变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≥”，则在不等式左边减去一个非负变量，这个非负变量成为剩余变量。理解松弛变量的实际含义例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使得获利最多？甲产品乙产品资源限制设备11300台时原料A21400kg原料B01250kg建立数学模型：设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：0,02504002300..10050max212212121xxxxxxxtsxxFDBC图解法30021xx400221xx2502x10020030040010020030040001005021xxOA可行解域为OABCD最优解为B点（50，250）最优解的解释最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙产品生产250个单位时，获利最大。此时，资源利用情况为（代入约束条件）：设备台时利用量=1*50+1*250=300=资源限制量原料A使用量=2*50+1*250=350资源限制量400原料B使用量=1*250=250=资源限制量引入松弛变量x3,x4,x5，将数学模型标准化：0,02504002300..10050max212212121xxxxxxxtsxxF∵最优解为x1=50,x2=250,∴代入标准化的数学模型，得松弛变量x3=0,x4=50,x5=0。5,,1,02504002300..10050max5242132121jxxxxxxxxxtsxxFj松弛变量的含义松弛变量x3=0，表示按最优生产方案生产时，设备已充分利用，无多余的设备台时。松弛变量x4=50，表示按最优生产方案生产时，原料A未用完，还有50个单位。松弛变量x5=0，表示按最优生产方案生产时，原料B已用完。所以，松弛变量不等于零，表示某种资源较充裕。理解剩余变量的含义例：某公司由于生产的需要，共需要A、B两种原料至少350吨（A、B两种原料有一定的替代性），其中原料A至少购进125吨。但由于A、B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨原料A需要2小时，加工每吨原料B需要1小时，而公司总共有600个加工时数，又知道每吨原料A的价格为2万元，每吨原料B的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A、B两种原料，使得购进成本最低？建立数学模型：设x1，x2分别为原料A、B的购进量：0,06002125350..32min212112121xxxxxxxtsxxF将数学模型标准化引入剩余变量x3，x4，及松弛变量x5：0,06002125350..32min212112121xxxxxxxtsxxF5,2,1,06002125350..32min5214132121jxxxxxxxxxtsxxFj图解法35021xx1251x600221xx10020030040050060010020030040050003221xxBAC可行解域为ABC最优解为C点（250，100）最优解的解释最优解x1=250，x2=100表示最佳购买方案是原料A购进250吨，原料B购进100吨。代入约束条件分析：总购进量=250+100=350吨=最低要求原料A购进量=250最低要求125原料加工时数=2*250+100=600=最高限制进一步计算剩余变量和松弛变量:X3=0，表示正好达到最低要求；X4=125，表示超出最低要求，多购进125吨；X5=0，表示工时数被全部利用。关于松弛变量和剩余变量的信息也可以从图解法中获得。另外，DBC松弛变量x3=0,x4=50,x5=030021xx400221xx2502x10020030040010020030040001005021xxOA可行解域为OABCD最优解为B点（50，250）132松弛变量x3=0,x4=50,x5=0最优解在B点。B点是第1、第3个约束条件对应的直线的交点，所以第1、第3个约束条件加入的松弛变量为0，而第2个约束条件加入的松弛变量不为0（与B点还有一点距离）。剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=035021xx1251x600221xx10020030040050060010020030040050003221xxBAC可行解域为ABC最优解为C点（250，100）123剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0最优解在C点。C点是第1、第3个约束条件对应的直线的交点，所以第1、第3个约束条件加入的剩余变量和松弛变量都为0，而第2个约束条件加入的剩余变量不为0（与C点还有一点距离）。思考题与练习题