高考球的问题(教师总结赠送历年高考真题)

1“球迷”侃球“三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡。可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。下面我借助具体问题，谈谈对球的认识，希望能对大家有所启发。球的问题可以从以下四个角度考虑，直接找球心，化锥为体找球心，线面垂直找球心，作过球心的截面图。其中直接找球心比较简单，这里不做讲解，我主要谈后面几个问题。一、化锥为体找球心总体思想：化锥（或柱）为体。这里的“锥”指的是特殊的棱锥（侧棱与底面垂直的棱锥，侧面与底面垂直的棱锥，正四面体等，“柱”指的是直棱柱，“体”指的是长方体（含正方体）。长方体（或正方体）与球有天然联系，长方体的中心是它的外接球的球心，长方体的体对角线是球的直径。所以通常把几何体放在长方体中研究，把它看成长方体的一部分，用长方体过渡，寻找突破口。例(13辽宁理10)已知直棱柱111CBA-ABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ACAB，12AA1则球O的半径为________213______分析：很显然213AAACABBCR21221213R例已知三棱锥ABC-S的所有顶点都在球O的球面上，ABCSA面，232SA,AB=2,AC=1,60BAC则球O的表面积为______16_______分析：根据余弦定理360cosABAC2-ABACBC222222ACBCAB由勾股定理90C故如图所示可以把几何体放在长方体中SB为球的直径即4ABSAR222球的表面积16R4S2二、线面垂直找球心总体思想：若面DAG过小圆⊙1O的圆心，且与小圆所在的截面垂直则过A，D，G三点的圆是球的大圆，在大圆上由于90DAG所以它所对的弦DG为直径，弦中点O为球心例点A，B，D，C均在同一球面上，其中ABC是正三角形，ABCAD面，AD=6，AB=3，则该球的体积为_________332______分析：利用正弦定理ABC外接圆半径32sinCABAG球的直径34222AGADDGR球的体积332343RV例（09全国Ⅰ第15题）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于_____20____3ABC的外接圆的的直径4sinBGACBAB所以球的直径52)BG(BBGB2211R，从而可知答案为20R42S二、作过球心的截面图㈠纵截面（2013全国新课标Ⅰ文15）已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AHHB，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_______。分析：用截面图（纵截面）分析：12r1r,3R2AT，3R4BT利用射影定理BTATCT2423R29RS2㈡横截面（16新课标Ⅲ理10）在封闭的直三棱柱ABC-111CBA内有一个体积为V的球。若BCAB，AB=6，BC=8，3AA1，则V的最大值是（B）A、4B、29C、6D、332分析：要想球的体积最大，则球与柱的三个侧面相切，或与两底面相切若为前者：作出横截面22RACBCAB1R2AA此时球在柱外不合题意4若为后者3R21AA，29R34V3数学高考是选拔性考试，所以高考以基础题为主，注重通式通法，力主“淡化运算技巧”，但同时提倡“优化解题路径”。所以它给懒惰的人以教训，给勤奋的人以出路，给聪明的人以捷径。在数学学习的过程中并非一路坦途，不过山高自有客行路，水深必有渡船人。在此我相信并祝愿同学们能智慧的应对学习中各种问题，寻找到更多更好的方法，绝处逢生，柳暗花明，学海不苦，书山有路。10.6球一、球心与小圆圆心连线与小圆面垂直例（04全国4）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC的距离为（A）A．1B．2C．3D．2提示:用正弦定理求三角形外接圆半径例（09全国一）15.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于_____20____练习（05全国一）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（B）（A）28（B）8（C）24（D）4已知三棱柱111CBAABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB，60,1BACAC，则此球的表面积等于_____8__________.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=3，BC=2，则棱锥O-ABCD的体积为（51）某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为侧视图俯视图正视图221135(B)A．4B．283C．443D．20注：利用正弦定理求外接圆半径（一般为正三角形或等腰三角形）在表面积为64的球面上有A,B,C三点,90ABC,AC=2AB,球心O到平面ABC的距离是32,则三棱锥O-ABC的体积是(D)A、8B、4C、8D、4（94全国）(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是(D)(A)916π(B)38π(C)4π(D)964π（04辽宁）10．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（A）A．68B．664C．224D．272已知某几何体的三视图(单位:m)如图所示，则这个几何体的外接球表面积（单位：2m）等于（B）A、37B、328C、8D、16已知正四棱锥O－ABCD的体积为54，底面边长为23，则正四棱锥O－ABCD的外接球的表面积为100.已知三棱锥ABC-S的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为3的正三角形，S在ABC内的射影点为ABC的中心点D，且SD=3，则三棱锥外接球表面积_____16____6CDOSABC已知ABC的三个顶点在同一球面上，60BAC，AB=1，AC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的体积为_____328________CO1OAB球O的半径R=13，球面上有三点A，B，C，312AB，AC=BC=12，则四面体ＯＡＢＣ的体积是（Ａ）Ａ、360Ｂ、350Ｃ、660Ｄ、650注：球心在小圆面上的射影是小圆的圆心，也是小圆面内接三角形外心,利用正弦定理求外接圆半径三棱锥P-ABC,若PB=2AB=2BC=4,AC=3,PA=PC=32,则该三棱锥外接球表面积为______二、化锥(柱)为体找球心在平行四边形ABCD中90ABD，4BDAB222若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（A）7A、4B、8C、12D、16已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为_6__．（95全国）．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是(B)(A)32a(B)22a(C)2πa2(D)3πa2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)A．16B．20C．24D．32(2015葫芦岛二模)10.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为23的正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=26,则此四棱锥的外接球的表面积为DCDDDA．12B．24C．144D．48例(13辽宁)已知直棱柱111CBA-ABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ACAB，12AA1则球O的半径为________213______例（03全国）12．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（A）A．3B．4C．33D．6提示:化锥为体例已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面3,4,ABACABAC，112AA则球O的半径为C8(A)3172(B)210(C)132(D)310(12辽宁)已知正三棱锥ABC-P，点P，A，B，C都在半径23的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直且相等，则截面ABC的面积为______23________（91全国）在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是________23a________21、(2014辽南协作体二模)11、设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足ABAC、ADAC、ABAD，则ACDABDABCSSS的最大值是___8________A、4B、8C、12D、16.一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为(A)4(B)3(C)2(D)三、线面垂直找球心例已知三棱锥ABC-S的所有顶点都在球O的球面上，ABCSA面，32SA,AB=2,AC=1,60BAC则球O的表面积为______16_______SBO1OAC注：化锥为体找球心也行例点A，B，D，C均在同一球面上，其中ABC是正三角形，ABCAD面，AD=6，AB=3，则该球的体积为_________332______（第5题图）DGO1OABC9例已知三棱锥P-ABC中，PA面ABC，PAC为等腰直角三角形，72BC，AC=2AB=4，则三棱锥外接球表面积为BA、380B、3160C、40D、80AD=6，AB=3，则该球的体积为_________332______22(2015河南模拟)（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．已知三棱锥ABCP，在底面ABC中，060A，3BC，ABCPA面，23PA，则此三棱锥的外接球的表面积为（D）A．163B.43C.323D.16已知直三棱柱111ABCABC的6个顶点都在直径为13球O的球面，且4AB，3,ACABAC，则三棱柱的的体积为72．(2015桂林十八中)15.ABCD、、、是同一球面上的四个点,其中ABC是正三角形,AD⊥平面ABC，AD=4,AB=23,则该球的表面积为____32_____。(2014葫芦岛二模)如图所示，一个三棱锥的三视图中，其俯视图是正三角形，主视图及左视图的轮廓都是直角三角形，若这个三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（）10答案41.51.5.2873π四、面面垂直找球心四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为DA．272B．92C．152D．15πO2OO1如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为34.444图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为1622411BACD已知如右图所示的三棱锥A