高三一轮总复习理科数学新课标第10章-第3节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第三节二项式定理考纲传真会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝，它表示第项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，Cnn.C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋CnnbnCrnan－rbrr＋1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.二项式系数的性质(1)对称性：当0≤k≤n时，.(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.Ckn＝Cn－kn2n－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由二项式定理与二项式系数的概念、性质知(1)、(2)不正确，(3)和(4)正确.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.(人教A版教材习题改编)(x＋2)8的展开式中x6的系数是()A.28B.56C.112D.224【解析】通项为Tr＋1＝Cr8x8－r2r＝2rCr8x8－r，令r＝2，得T3＝22C28x6＝112x6，所以x6的系数是112.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为()A.1B.129C.128D.127【解析】令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝128.令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4.(2013·天津高考)x－1x6的二项展开式中的常数项为________.【解析】x－1x6的展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCr6x6－r1xr＝(－1)rCr6xr，令6－32r＝0，解得r＝4，故常数项为(－1)4C46＝15.【答案】15菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5.(2013·安徽高考)若x＋a3x8的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________.【解析】含x4的项为C38x5a3x3＝C38a3x4，∴C38a3＝7，∴a＝12.【答案】12菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1通项公式及其应用【例1】(1)(2013·浙江高考)设二项式x－13x5的展开式中常数项为A，则A＝________.(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1【思路点拨】(1)写出通项公式Tr＋1，令x的指数为0，求r，代入计算.(2)x2的系数来源于(1＋x)5展开式中x2的系数和ax与(1＋x)5展开式中一次项之积的系数.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)Tr＋1＝Cr5(x)5－r－13xr＝Cr5(－1)rx52－5r6，令52－5r6＝0，得r＝3，所以A＝－C35＝－10.(2)(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.【答案】(1)－10(2)D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.求二项展开式中的待定项，一般是利用通项公式进行化简，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零，求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可，但应注意n，r∈N，n≥r.2.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类计数原理讨论求解.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(2014·郑州市调研)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.【解析】f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.【答案】10菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2二项式系数的性质与各项系数和【例2】(1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A.15x2B.20x3C.21x3D.35x3(2)若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________.【思路点拨】(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解.(2)根据二项式系数性质，由C2n＝C6n，确定n的值，求出1x2的系数.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝C36x3＝20x3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8.∴Tr＋1＝Cr8·x8－r·1xr＝Cr8·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴1x2的系数为C58＝C38＝56.【答案】(1)B(2)56菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C3n＝C7n，而求错n的值.2.求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质.(2)根据题目特征，恰当赋特殊值代换.常见的赋值方法是使得字母因式的值为1，－1或目标式的值(如第(1)题用赋值法求出a0与n的值).菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a201422014的值为________.【解析】令x＝0，得a0＝(1－0)2014＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a201422014＝0，∴a12＋a222＋…＋a201422014＝－1.【答案】－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3二项式定理的应用【例3】(2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12【思路点拨】注意到52能被13整除，化51为52－1，从而运用二项式定理展开512012，由条件求a的值.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52·(－1)2011能被13整除.且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除.因此a可取值12.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.本题求解的关键在于将512012变形为(52－1)2012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系.2.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：(1)余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练31－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A.－1B.1C.－87D.87【解析】1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）一个定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr，是展开式的第r＋1项，不是第r项.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）一个防范切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分.前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负.两种应用1.通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等.2.展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.(2)可证明整除问题(或求余数).(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）从近两年的高考试题来看，求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，题型为选择题或填空题，属容易题，在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思想、等价转化思想.预测2015年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意与二项式定理有关的创新题.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数