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第3课时二项式定理1．二项式定理公式(a＋b)n＝(n∈N*)叫做二项式定理．其中Cnk(k＝0,1,2，…，n)叫做．Tk＋1＝叫做二项展开式的通项，它表示第k＋1项．基础知识梳理Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn二项式系数Cnkan－kbk基础知识梳理在公式中，交换a，b的顺序是否有影响？【思考·提示】从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如第k＋1项Tk＋1＝Cnkan－kbk，T′k＋1＝Cnkbn－kak.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“”的两个二项式系数相等，即Cnm＝Cnn－m.基础知识梳理等距离(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝.基础知识梳理Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn2n－1A．16B．70C．1792D．560答案：C三基能力强化1．(2009年高考重庆卷改编)(x2＋2x)8的展开式中x的系数是()2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A．24B．18C．16D．6答案：D三基能力强化3．(1＋x)2n(n∈N＋)的展开式中，系数最大的项是()答案：C三基能力强化A．第n2＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项4．若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是________．答案：－2三基能力强化答案：9三基能力强化5．(教材习题改编)已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项是第4项，则n的值为________．通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且r≤n.课堂互动讲练考点一求展开式中的指定项课堂互动讲练例1求(3x－23x)10的展开式中的第4项的二项式系数、第4项的系数、第4项．【思路点拨】利用通项公式求解．课堂互动讲练【解】(3x－23x)10的展开式的通项是Tr＋1＝C10r(3x)10－r(－23x)r(r＝0,1，…，10)．(1)展开式的第4项的二项式系数为(r＝3)C103＝120.课堂互动讲练(2)展开式的第4项的系数为C10337(－23)3＝－77760.(3)展开式的第4项为－77760(x)7·1x3，即－77760x.【名师点评】(1)正确区别二项展开式的某一项的二项式系数、项的系数、项三个不同概念．(2)对于通项，要注意以下几点：①它表示二项展开式中的第r＋1项，只要r确定，该项也随即被确定；②公式表示的是第r＋1项，而不是第r项；③公式中a，b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.课堂互动讲练课堂互动讲练例2已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．课堂互动讲练【解】通项公式为Tr＋1＝Cnrxn－r3(－12)rx－r3＝Cnr(－12)rxn－2r3，(1)因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.课堂互动讲练(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C102(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.∵r∈Z，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为课堂互动讲练令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，C102(－12)2x2，C105(－12)5，C108(－12)8x－2.【规律小结】(1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；课堂互动讲练(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．课堂互动讲练本例题已知条件不变，问：“这个展开式中是否含有x的一次项？”若没有，请说明理由，若有，请求出．课堂互动讲练互动探究解：由例题知n＝10，Tr＋1＝C10r(－12)rx10－2r3，若含x的一次项，则10－2r3＝1，课堂互动讲练∴10－2r＝3，2r＝7，r＝72，与r∈Z矛盾，式中不含x的一次项．1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得．课堂互动讲练考点二求二项展开式中系数最大的项课堂互动讲练例3已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－1x)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．课堂互动讲练【思路点拨】根据二项式系数的性质，列方程求解n，系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．【解】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr≤Tr＋1，且Tr＋1≥Tr＋2.课堂互动讲练(1)由二项式系数的性质知，(2x－1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大．即C105＝252.∴T6＝C105(2x)5(－1x)5＝－8064.课堂互动讲练∵Tr＋1＝C10r·(2x)10－r·(－1x)r＝(－1)rC10r·210－r·x10－2r，∴C10r·210－r≥C10r－1·210－r＋1C10r·210－r≥C10r＋1·210－r－1，得C10r≥2C10r－12C10r≥C10r＋1，课堂互动讲练即11－r≥2r2(r＋1)≥10－r，解得83≤r≤113.∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4＝－C103·27·x4＝－15360x4.【思维总结】在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关．值得注意的是，本例中是求“系数的绝对值最大的项”，若改为“系数最大的项”又该如何处理？因为第4项的系数为负值，所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项．比较这两项的系数C10228与C10426大小即可．课堂互动讲练赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意赋值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.课堂互动讲练考点三赋值法在二项展开式中的应用一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．课堂互动讲练课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.课堂互动讲练【思路点拨】二项展开式是一个恒等式．即对任意的x∈R都成立，因而可采用赋值完成．【解】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②2分(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.3分(2)(①－②)÷2得：课堂互动讲练a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.6分(3)(①＋②)÷2得：a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.9分(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，＝1093－(－1094)＝2187.12分法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.12分课堂互动讲练【名师点评】求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1，－1，….课堂互动讲练(本题满分12分)在二项式(2x－3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y91分(1)二项式系数之和为：C90＋C91＋C92＋…＋C99＝29.3分课堂互动讲练高考检阅(2)各项系数之和为：a0＋a1＋a2＋…＋a9.令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.6分(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.①7分令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝(2＋3)9＝59.②8分课堂互动讲练(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9＝59.12分课堂互动讲练①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即为所有奇数项系数之和.9分1．二项式定理及通项公式的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用．有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理．规律方法总结(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题．(3)在通项公式Tk＋1＝Cnkan－kbk(n∈N*)中，要注意有n∈N*，k∈N，k≤n，即k＝0,1,2，…，n.规律方法总结2．项的系数与项的二项式系数的区别利用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项、系数最大项、有理项等)或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同．如(1＋2x)5的展开式中的第3项为T3＝C52·13·(2x)2＝40x2，其中该项的系数为C52·22＝40，而该项的二项式系数为C52＝10.规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入