2011届高考数学第一轮复习课件之等差数列

第2课时等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的，通常用表示，其符号语言为：(n≥2，d为常数)．基础知识梳理同一个常数an－an－1＝d公差d2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则其通项公式为.基础知识梳理an＝a1＋(n－1)d已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？【思考·提示】能，an＝am＋(n－m)d.基础知识梳理3．等差中项如果三个数a，A，b成，则A叫做a和b的等差中项，且有A＝.基础知识梳理等差数列a＋b24．等差数列的前n项和公式Sn＝＝.基础知识梳理n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d答案：B三基能力强化1．(2009年高考辽宁卷改编){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，d＝－12，则a3＝()A．－2B．0C.12D．12．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝292，则序号n等于()A．98B．99C．100D．101答案：A三基能力强化3．在等差数列{an}中，a3＋a21＝4，则其前23项的和为()A．10B．12C．46D．52答案：C三基能力强化三基能力强化4．(2009年高考全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则S9S5＝________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，三基能力强化则由a5＝5a3知a1＝－32d.∴S9S5＝9(a1＋4d)5(a1＋2d)＝9.答案：9三基能力强化5．(教材习题改编)已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.答案：15证明一个数列{an}是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)，二是利用等差中项法，即证明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在课堂互动讲练考点一等差数列的判定选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法．课堂互动讲练课堂互动讲练例1已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．【思路点拨】由等差数列的定义知{an}是等差数列的充要条件是an＋1－an是一个与n无关的常数．【解】(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q.要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，∴只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0时，数列{an}是等差数列．课堂互动讲练(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，∴{an＋1－an}是等差数列．【误区警示】在(2)中，要证明(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)是一个与n无关的常数，而不是证an＋1－an是一个常数．课堂互动讲练课堂互动讲练考点二等差数列的基本运算1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．课堂互动讲练课堂互动讲练例2已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试探究153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？若不是，说明理由．【思路点拨】求出通项公式，将153代入判断．【解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.课堂互动讲练∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27.令an＝153，即4n－27＝153，∴n＝45.∴153是等差数列的项，是第45项．课堂互动讲练由已知a1＋(15－1)d＝33a1＋(61－1)d＝217，∴a1＝－23d＝4.【名师点评】在等差数列的五个基本量a1，d，an，Sn，n中，“知三求二”是一种基本运算，一般方法是利用通项公式和前n项和公式，通过列方程组求解．判断是否是数列中的项的问题，一般有两种解法：一是对所要判断的式子进行变形，看其是否与通项公式一致；二是假设其是数列的项，列出等式解出n，看所解出的n是否为正整数．课堂互动讲练若题目条件不变，设p，q∈N*.试判断ap·aq是否仍为数列{an}中的项，并说明理由．解：因an＝4n－27.apaq＝(4p－27)(4q－27)＝16pq－108(p＋q)＋272＝4[4pq－27(p＋q)＋189]－27，∵4pq－27(p＋q)＋189∈N*，∴ap·aq仍为数列{an}中的项．课堂互动讲练互动探究已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.课堂互动讲练考点三等差数列的性质(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(4)S2n－1＝(2n－1)an.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．课堂互动讲练(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝n2d.课堂互动讲练例3(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n及a9＋a10；(2)等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn＝3n－12n＋3，求a8b8的值．【思路点拨】(1)可利用前6项与后6项的和及等差数列的性质求出a1＋an的值，然后利用前n项和公式求出项数n.(2)可利用中项公式求解．课堂互动讲练【解】(1)由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36.课堂互动讲练∴18n＝324.∴n＝18.∴a1＋a18＝36.∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.课堂互动讲练又Sn＝n(a1＋an)2＝324，课堂互动讲练(2)∵SnTn＝3n－12n＋3，∴S15T15＝3×15－12×15＋3＝4433＝43.∵S15＝15(a1＋a15)2＝15a8，T15＝15(b1＋b15)2＝15b8，∴a8b8＝15a815b8＝S15T15＝43.【名师点评】(1)中解法运用了倒序求和的方法和等差数列的性质，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；(2)小题中，直接得出Sn＝(3n－1)k，Tn＝(2n＋3)k，然后求a8，b8.这种做法是错误的．课堂互动讲练求等差数列前n项和Sn的最值问题，主要有以下方法：(1)二次函数法：将Sn看作关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值；课堂互动讲练考点四等差数列前n项和的最值课堂互动讲练(3)不等式法：借助Sn最大时，有Sn≥Sn－1，Sn≥Sn＋1，解此不等组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)．课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)在等差数列{an}中，(1)若a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值；(2)若a1＜0，S9＝S12，则该数列前多少项的和最小？【思路点拨】我们可以通过分析数列中各项的正、负号确定前多少项的和最大，也可以利用二次函数求最大值．课堂互动讲练【解】(1)由a1＝20，S10＝S15，∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.3分∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵公差d＜0，a1＞0，课堂互动讲练解得公差d＝－53.1分∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.6分课堂互动讲练(2)设数列{an}的公差为d，则由题意得即3a1＝－30d，∴a1＝－10d.8分∵a1＜0，∴d＞0.课堂互动讲练9a1＋12×9×(9－1)d＝12a1＋12×12×(12－1)d，课堂互动讲练∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2(n－212)2－441d8.10分∴Sn有最小值，又n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值.12分课堂互动讲练【误区警示】(2)小题中Sn＝d2(n－212)2－441d8要注意n∈N*，而不能答成n＝212时取最小值．(本题满分12分)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；(2)若a1≥6，a110，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．课堂互动讲练高考检阅解：(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.2分因此，{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2,3，….5分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由S14≤77，a110，a1≥6.得2a1＋13d≤11，a1＋10d0，a1≥6，7分课堂互动讲练即2a1＋13d≤11，①－2a1－20d0，②－2a1≤－12.③由①＋②得－7d11，即d－117.8分由①＋③得13d≤－1，即d≤－113.9分于是－117d≤－113.又d∈Z，故d＝－1.④将④代入①②得10a1≤12.11分又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an＝12－n和an＝13－n，n＝1,2,3，….12分课堂互动讲练1．等差数列的单调性当d＞0时，{an}是递增数列．当d＝0时，{an}是常数列．当d＜0时，{an}是递减数列．规律方法总结2．等差数列的前n项和Sn(1)等差数列的前n项和Sn是用倒序相加法求得的．注意这种思想方法在数列求和中的应用．规律方法总结规律方法总结(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其三就能求另二，体现了用方程的思想解决问题．随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入