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第3课时等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的，公比通常用字母(q≠0)表示．基础知识梳理第2项前一项同一个公比q2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.基础知识梳理a1qn－13．等比中项如果三个数a、G、b组成，则G2＝.基础知识梳理等比数列G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即abb2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？【思考·提示】b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.基础知识梳理基础知识梳理4．等比数列的前n项和公式Sn＝(q＝1)，a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q(q≠1).na11．(2009年高考广东卷改编)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝2，则a1＝()三基能力强化A．2B.2C.22D.12答案：B三基能力强化2．设a1＝2，数列{an＋1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A．80B．81C．54D．53答案：AA．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列答案：B三基能力强化3．已知{an}满足：a1＝1，an＋1an＝12，则数列{an}是()三基能力强化4．(教材习题改编)设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a2＝________.答案：1525.在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的通项公式bn＝________.三基能力强化答案：43×(13)n－1证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明即证明an＋12＝anan＋2≠0(n∈N*)．在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论．课堂互动讲练考点一等比数列的判定an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)，二是利用等比中项法，课堂互动讲练例1(2009年高考全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】由已知条件，用an＋1，an表示出bn＋1，bn，从而可以得出证明．【解】(1)证明：由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，课堂互动讲练(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，课堂互动讲练于是an＋12n＋1－an2n＝34.因此数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列，an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.【名师点评】等比数列的判定方法还可利用通项公式法和前n项和公式法．(1)通项公式法：若数列{an}通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．课堂互动讲练等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．课堂互动讲练考点二等比数列的基本运算注意：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．课堂互动讲练课堂互动讲练例2设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．【思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练【解】由题设知a1≠0，Sn＝a1(1－qn)1－q，则a1q2＝2①a1(1－q4)1－q＝5×a1(1－q2)1－q②由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0，(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，因为q1时，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；课堂互动讲练当q＝－2时，代入①得a1＝12，通项公式an＝12×(－2)n－1.【误区警示】(1)两边同除以1－q2导致失解．(2)忽略q1从而增根．课堂互动讲练例2题目条件不变，求Sn.课堂互动讲练互动探究解：当q＝－1时，a1＝2.∴Sn＝2[1－(－1)n]1＋1＝1－(－1)n；当q＝－2时，a1＝12.∴Sn＝12[1－(－2)n]1＋2＝16[1－(－2)n]．在等比数列中常用的性质主要有：(1)对于任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap2.(2)对于任意正整数m，n，有an＝amqn－m.课堂互动讲练考点三等比数列的性质(4)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍成等比数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m是等比数列(q≠－1)．课堂互动讲练(3)若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an2}，{1an}也是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列．课堂互动讲练例3(1)在等比数列{an}中，当a1·a89＝16时，a44·a45·a46＝________.(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝14，则S3n等于________．【思路点拨】运用等比数列的性质：(1)若k＋l＝m＋n，则ak·al＝am·an；(2)若Sn是正项等比(公比不等于－1)数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，求解．课堂互动讲练【解析】(1)∵a1·a89＝a44·a46＝a452＝16，∴a45＝±4.∴a44·a45·a46＝±64.(2)∵{an}为正项等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即122＝2(S3n－14)，得S3n＝86.【答案】(1)±64(2)86课堂互动讲练【名师点评】(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．课堂互动讲练在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键。课堂互动讲练考点四等比数列的综合应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)问是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由．【思路点拨】(1)利用已知条件求得a1与an，注意看a1是否适合an，通过{an}求得{bn＋1－bn}的公差，利用迭代法或累加法求bn.(2)利用bk－ak的单调性加以判断．课堂互动讲练【解】(1)已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②2分①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*).3分由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，课堂互动讲练∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，4分法一：迭代法得：bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*).6分课堂互动讲练法二：可用累加法，即bn－bn－1＝2n－8，bn－1－bn－2＝2n－10，⋮b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)课堂互动讲练＝8＋(n－1)(－4＋2n－8)2＝n2－7n＋14(n∈N*).6分(2)∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，设f(k)＝k2－7k＋14－24－k，8分当k≥4时，∴当k≥4时，f(k)＝k2－7k＋14－24－k≥1，10分又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，∴不存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1).12分课堂互动讲练f(k)＝(k－72)2＋74－24－k单调递增且f(4)＝1，【思维总结】由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法．本例第(2)问的解答，就是将bk－ak视为关于k的函数f(k)，然后研究函数f(k)的单调性，通过单调性，求出f(k)的取值范围，再结合已知的几个函数值，判断出函数f(k)在k∈N*时的取值范围，从而加以判断得出结论，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题．课堂互动讲练(本题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；课堂互动讲练高考检阅(2)设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2011.解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝2(∵d＞0).2分∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.3分又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3.∴bn＝3·3n－2＝3n－1.5分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得：n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.8分∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)．课堂互动讲练又n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3(n＝1)2·3n－1(n≥2).10分∴c1＋c2＋c3＋…＋c2011＝3＋6－2×320111－3＝3＋(－3＋32011)＝32011.12分1．等比数列的相关问题(1)等比中项在一个等比数列中，从第二项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等比中项，即an2＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)．规律方法总结(2)等比数列的单调性①若a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1，则数列{an}是递增数列．②若a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1，则数列{an}是递减数列．③若q＝1，则数列{an}是常数列．④若q＜0，则数列{an}是摆动数列且各项的正负号间隔．规律方法总结2．等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．规律方法总结规律方法总结(2)等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求另二，体