一题多解在几何证明中的应用2--巧添辅助线

学习目标在几何证明巧添辅助线，目的有三：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。倍角问题、中点问题、线段的和差问题如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。求证：∠DBC=∠BAC.CABDC12证明一：∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C∴∠A=（180°-2∠C）=2(90°-∠C)=2∠DBC即∠DBC=∠BAC分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，12分析：可以做BC的高线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。12证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC∴∠EAC=∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∵∠EAC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=∠BAC12证法三：∵BD⊥AC∴BD是线段CE的垂直平分线∴BC=BE∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=∠BAC12如图，在AD上取一点E，使DE=CD，连接BE证明四：分析：取BC中点为E，连接DE，利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”和“等腰三角形的性质”求解同学们不妨试一试12“倍角问题”小结研究∠α＝2∠β或∠β=分两种情形：∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠α∠1=∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）∠α与∠β在一个三角形中，构造等腰三角形（如图二）12如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点，求证：BD=CE由于BD、CE的形成与D、E两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形是问题的关键。条件中AB=AC,当过D点或E点作平行线，就可以形成新的图形关系——构成等腰三角形，证明一：过点D作DG∥AC,交BC于点G∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB∴BD=DG∵F是DE的中点∴∠B=∠DGB∴DF=EF在△DFG和△EFC中，可证△DFG≌EFC（AAS）∴DG=CE∴BD=CEH证法二：过点E作EH∥AB,交BC延长线于点H构造“Z型图”或“8字图”证法三：如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH∵F是DE的中点∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BC∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA∵AB=AC∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴AB-AD=AC-AH∴BD=CH∴BD=CE“中点问题”小结常用三种方法添加辅助线①延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。②构造中位线，如图三③构造直角三角形斜边上的中线，如图四。如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中点求证：AD=AB+CBABCEFBAE=FB=ECFBE=CE证法一：延长AE交DC延长线于F∵AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF∵E是BC的中点∴BE=CE在△ABE和△CEF中∴△ABE≌△CEF(AAS)∴AB=CF∵AE平分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠F∴AD=DF∵DF=DC+CF,CF=AB∴AD=AB+DCABCEFDDABCEF证法二：过点E作EF∥AB构造梯形中位线，等量转换如图，在△ABC中，AB=AC,点P是边BC上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量，猜想PD+PE=CM.PABPACABCSSSMEDPCBA分析1：本题中含有AB=AC及三条垂线段PD、PE、CM，，可以用面积法求解。121212ABPACPABCSABPDSACPESABCMPABPACABCSSS1112220ABPDABPEABCMABPDPECM证法1：连接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M∴∠PDC=∠PEC=∠CMB=90度∵AB=AC且∴∴当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。分析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再证明CQ=PE答：PD+PE=CM证法二：在CM上截取MQ=PD，连接PQ.∵CM⊥AB于M,PD⊥AB于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM∥DP∴四边形PQMD为平行四边形∴PQ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠ECP∴∠QPC=∠ECP∵PE⊥AC于E∴∠PEC=90°PQC=PECQPC=ECPPC=PC在△PQC和△PEC中∴△PQC≌△PEC∴QC=PE∵MQ=PD∴MQ+QC=PD+PE∴PD+PE=CM构造特殊四边形，得相等关系，等量代换分析3：延长DP到N使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,再证明PN=PE证法3：延长DF到N，使DN=CM，连接CN同证法2得平行四边形DNCM，及△PNC≌△PEC∴PN=PE∴PD+PE=CMNMEDPCBA常用的辅助线有两种：•短延长：•若AB=a,则延长AB到M,使BM=b,证明AM=c；•长截短：•若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,证明MB=b。“线段的和差问题”小结形式：证明a+b=c或a=c-b，