2011年高考数学总复习课件：复数的四则运算

•1.已知复数z=i,则等于（）•A.－iB.i•C.±iD.±1•11zz－1i1(i1)(i1)===i,+1i+1(i+1)(i1)zz－－－－－选B.B•2.复数=（）•A.2B.－2•C.－2iD.2i•因为故选C.221+ii（）C22(1i)2i2i,i1－－•3.等于（）•A.2iB.－1+i•C.iD.1•因为所以•选C.•易错点：符号出错是较常见的错误.20091i1i（）－C221ii1,1i（）－－20091i1i（）－20081i·ii,1i（）－4.复数的模为.因为所以复数的模为填1.5.表示a+bi(a,b∈R),则a+b=.b=1,a+b=1.2(1i)13i－12(1i)2i3i.213i13i－－－2231122（）（－），2(2i)43i－12(2i)(44i1)(43i)i,43i(43i)(43i)－－－故a=0,•1.复数的代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识有复数相等,复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质.•2.复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i，1±i等)的运算，这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧.•重点突破：复数的代数运算•计算：•(Ⅰ)•(Ⅱ)•要是利用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧来计算.例14522i;13i（）（－）199623i2.1i123i－（）•(Ⅱ)原式44161i13i13i（）原式（-）（-）264164413i13i413i13i－－－（）（－）（）2998i123i21i123i（）（）［］9989984249222iiiiiii1i.2i（）－－22162i223i13i（）（--）（-）13i.－(Ⅰ)•复数的计算中，如遇到计算(a+bi)n时,也可以应用二项展开式来解决,但往往运算较为繁琐,所以应用(1+i)2=2i,(1－i)2=－2i等运算结果还是常用的解法.•计算：(Ⅰ)(3－2i)4;•(Ⅱ)（1+i）10•(Ⅰ)(3－2i)4=(5－12i)2=－119－120i;•(Ⅱ)(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i.变式练习1重点突破：复数的几何意义设复数z1=x+yi(x,y∈R,y≠0),z2=cosα+isinα(α∈R),且∈R,z1在复平面上的对应点在直线y=x上,求|z1－z2|的取值范围.可以考虑把求|z1－z2|的取值范围转化为求函数值域的问题.例22112zz•因为∈R,z1对应点在直线y=x上,•又因为=(x2-y2+2x)+(2xy-2y)i∈R,•2xy－2y=0•x=y≠0•所以z1=1+i，|z1-z2|=•因为sin(α+)∈[-1,1],所以2112zz2112zz所以,解得x=y=1.22(1cos)(1sin)－－π322sin4（），π412||[21,zz－21].•灵活运用复数、复数的模及复数的几何意义，能简化解题的过程.•已知复平面上点A、B、C分别对应复数z1=1+2i,z2=4－2i,z3=－1+0.5i,•求证：三角形ABC是直角三角形.•可以分别求出AB、BC、AC的长度,利用勾股定理的逆定理判断;或者将复数问题转化为向量问题来解决.变式练习2•解法1:由复数减法的几何意义知•所以对应复数为(4-2i)-(1+2i)=3-4i,|AB|=5;•对应复数为(-1+0.5i)-(1+2i0=-2-1.5i,|AC|=2.5;•对应复数为(-1+0.5i)-(4-2i)=-5+2.5i,|BC|=•因为52+2.52=31.25，•所以三角形ABC是以A为直角的直角三角形..ABOBOAABACBC31.25;•解法2:z1,z2,z3分别对应向量(1，2)，(4，－2)，(－1，05),•所以=(4,－2)－(1,2)=(3,－4);•=(－1,0.5)－(1,2)=(－2,－1.5);•=0,所以AB⊥AC.•把复数对应的几何问题,利用复数与向量之间的一一对应关系把它转化为向量问题,可以方便解决一些复数问题.ABAC·ABAC例3•重点突破：在复数范围内解方程•在复数范围内解方程(4+3i)z2=25i.•可以设z=x+yi(x、y∈R)，通过复数相等的充要条件来解决.•由已知方程得•x2－y2=3•x=2•y=1225i25i(43i)34i43i25z－，设z=x+yi(x、y∈R).则2xy=4，解得或x=－2y=－1,所以z=±(2+i).上述求复数平方根的方法是通用方法,但在求实数平方根时,有更为简便的方法.正数a的平方根为±,0的平方根是0;负数a的平方根是±ai.a－已知实系数方程2x2-bx+c=0(b,c∈R)有一虚根－2+i,求b,c的值.由于实系数方程ax2+bx+c=0,当Δ=b2－4ac0时,它有两个虚根两个虚根恰好构成一对共轭虚根.利用方程根与系数的关系可得解.变式练习3xi,2ba－－•由已知方程一根为-2+i,知方程的另一根为-2-i,•由韦达定理得(-2+i)+(-2-i)=,且(-2+i)(-2-i)=.•所以b=-8,c=10.•(1)本题也可以将已知的根-2+i代入方程,利用复数相等求得b,c.•(2)对于实系数一元二次方程无论其系数为实数还是虚数,它总有两根,且它的根也总满足韦达定理.2b2c已知2－3xi=3x+2i,求复数x.可以设x=a+bi(a,b∈R),然后利用复数相等求解.也可以直接利用复数运算求得.因为(3+3i)x=2－2i,所以本题中的x为复数,不可轻率利用例422i(22i)(1i)2i.33i3(1i)(1i)3x－－－－－复数相等,误认为2=3x-3x=2.•1.复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数有关概念和两个复数相等的充要条件.•2.要注意准确掌握复数的有关概念：复数、虚数、复数相等、共轭复数.注意分类讨论.•3.在进行复数的运算时,不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下列结论在复数集中不总是成立：•(1)(zm)n=zmn(m,n为分数);(2)zm=znm=n(z≠1);(3)•4.复数模|z|的几何意义是：复数z对应的点到原点的距离；|z－(a+bi)|的几何意义是复数z对应的点与A(a,b)的距离.22121200.zzzz•5.对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,无论其系数是实数还是虚数,它总有两复数根,且它的根满足韦达定理.•6.处理复数问题，应注意从整体角度去分析求解，若遇到复数就设z=x+yi(x,y∈R)，给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握负数的基本性质运用整体的思想方法，就能事半功倍.•1.(2009·山东卷)复数3－i1－i等于（）•A.1+2iB.1－2i•C.2+iD.2－i•••本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.C22(3i)1i3i32ii1i(1i)1i1i－－－－－－故选C.42i2i,2•2.(2009·广东卷)下列n的取值中，使in=1(i是虚数单位)的是（）•A.n=2B.n=3•C.n=4D.n=5•因为i4=1,故选C.•本题主要考查复数的简单运算,属于简单题.C