棱柱棱锥棱台和球的表面积

一．直棱柱的表面积直棱柱的展开图chSch正棱柱侧直棱柱侧面展开图有什么特点？2.直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和.1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.正棱锥的展开图ch’h’正棱锥侧面展开图有什么特点？'21chS正棱锥侧二.正棱锥的表面积ahh'1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’.或S正棱锥侧=c·h’.其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’。21212．正棱锥的表面积=侧面积+底面积正棱台的侧面展开图：正棱台侧面展开图有什么特点？正棱台侧面展开图的侧棱的延长线交于一点。正棱台的侧面展开图都是全等的等腰梯形，因此它们的面积都相等。aa`h`ABCDA1B1C1D1三.正棱台的表面积如果设正棱台底边长为a’，下底边长为a，斜高为h’，则其中的一个侧面的面积为：''21haa已知正棱台的上底周长为c’，下底周长为c，则正棱台的侧面积：h'nana'h'aa'n2121''21hccS正棱台侧如果设此棱台的底面为正n多边形，那么它的侧面积为：aa`h`h’a’aaa'hh'1．正棱台的侧面积是S=(c+c′)·h′，其中上底面的周长为c′，下底面的周长为c，斜高为h′.122．正棱台的表面积=侧面积+底面积正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：'21chS正棱锥侧''21hccS正棱台侧'chS正棱柱侧c’=cc’=0底侧全（表）面积即）指侧面积加底面面积注：全面积（或表面积SSS四.圆柱、圆锥、圆台的侧面积（1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl.O′OAOSc=2rlrS圆锥侧=·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。21c2c1O2O1SlRrS圆台侧=π(r+R)l=(c1+c2)l，其中r，R分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。21rlc`rrcc'l''21rrlccS圆台侧rlclS21圆锥侧rlclS2圆柱侧lrccc'0'c圆柱、圆锥和圆台的侧面积的关系：五.球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2，其中R为球的半径.例1.直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求该直平行六面体的侧面积。例2.已知正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积.EPODCBA解：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形。因为OE=2，∠OPE=30°，EPODCBA所以斜高24sin300.5OEPE因此S侧=ch′=32(cm2)21S全=S侧+S底=48(cm2)例3.正四棱台的两底面边长分别为a和b(ab),若棱台的侧面积等于两底面积之和，求它的高。例4.如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的半径为R，正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R；(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。S正四棱台=4××(2.5R+3R)×0.6R+(2.5R)2+(3R)2=21.85R2.21S球=4πR2.因此，这个盖子的全面积为S全=(21.85+4π)R2.解：（1）因为（2）取R=2，π=3.14，得S全=137.67cm2.又(137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)，因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg.例5.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.BAO2O1O解：由截面圆的面积分别是49πcm2和400πcm2,解得AO1=20cm，BO2=7cm.设OO1=x,则OO2=x+9.BAO2O1O所以R2=x2+202=(x+9)2+72.解得x=15(cm).所以圆的半径R=25(cm).所以S球=4πR2=2500π(cm2)练习题：1.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）（A）6a2（B）12a2（C）18a2（D）24a2B2.在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（）（A）（B）（C）（D）236233B3.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是（）（A）（B）（C）（D）2334a234a2332a233()24aA4.球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（）（A）2：π（B）3：π（C）4：π（D）6：πA5.已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积等于。187