棱锥体积推导

棱锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。2、V柱体＝Sh3、柱体体积公式的推导柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝Shα问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShShhSShhSS22122211，∵，SSSS21SS21证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个锥体放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1\S根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。=+=先割后补先补后割与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B1与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCA’B’CA’C1B1ABCA1ABCA1C1B1把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。猜测三棱锥的体积公式:ABCA1C1B1连接B1C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。１23猜测三棱锥的体积公式:就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。BCA1B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CAC1B1ABCA1BCA’B’CA’C1B1ABCA1１23猜测三棱锥的体积公式:31BCA1B12CA1C1B13ABCA11三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。31CA1C1B13ABCA11BCA1B12BCA’B’2ABCA11BCA1B’2ABCA11三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA1B12BCB’2ABC1BCA1B12ABC1高ABCA1131CA1C1B13BCA1B12三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。ABCA1131CA1C1B13BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCAB12三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等。高也相等（顶点都是A1）。高V1＝V2＝V3＝V三棱柱31猜测:如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝V三棱柱=ShABCA1131CA1C1B13BCA1B1231定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝Sh31定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥＝Sh证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等，高也相等（顶点都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱锥。∵V三棱柱＝Sh。∴V三棱锥＝Sh。31313131ABCA1C1B1１23猜测:n棱锥的体积公式：Vn棱锥=Vn棱柱n1任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh31小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体的底面积是S,高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh3131例1.如图是一石柱,石柱顶上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱.已知正四棱柱底面边长0.5米,高1米,正四棱锥的高是0.3米.石料比重d为每一立方米2400千克.求这个石柱的重量.解:V棱锥=V棱柱=.025.03.05.03132米,25.015.032米所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克).0.5米1米0.3米例2.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10，三个侧面与底面所成的二面角均为60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.BACVEOFD(2)求三棱锥的高.(3)求三棱锥的体积.(1)求证：O是△ABC的内心.OD为VD在平面ABC内的射影,根据三垂线定理,得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角.∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）连结CO并延长交AB于D,过O在平面ABC内分别作AC、BC的垂线,F、E为垂足.连结VD、VF、VE.AEOFDBRETURN因为VO⊥平面ABC,CD⊥AB,显然OD=OE=OF=VOctg60o,即点O到△ABC三边距离相等.因此O是△ABC的内心..331060,.310.60,12)2(22ODtgVOhODABCSADACCDABC所以内切圆半径的易知得CVEOFD.332003310603131)3(hSVABCABCVAB例3.已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面角为120o,底面边长a,求它的高、体积.ABCDSEOABCDSEO解：连结AC、BD交于O，连结SO，则SO为正四棱锥的高.过B作BE⊥SC,E为垂足.连结DE,则∠DEB为二面角D-SC-EB的平面角,所以DEB=120o.ASBCDEO.61213131.212143.23,,313660,22322231212aaaShVaaOCSCSOaSCSCECOCSOCRTaECaBEOEBaOCOBaAB中又连结OE,例4.如图三棱锥V-ABC中,D为BC上一点,E为AV上一点,BC⊥ED,BC⊥AV,ED⊥AV,已知BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱锥的体积.VABCDENEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.32)(31,AEVESVVVVBCEVAEDVABCVABCEABCVBCEABCEVABCV平面解：RETURNEVABCDBC=6,ED=4,AV=8.32)(31,CDBDSVVVVVADBCVABCEDBCVDAABCVVDACVDABABCV平面例5、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若点G在A1B1上滑动,H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化?(2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEFADBCEθ证明：在平面BCD内，作DE⊥BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。根据三垂线定理，AE⊥BC。∴∠AED＝θ。例6：已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθ31＝S△ABC·ADcosθ31＝×BC·AEcosθ·AD2131V三棱锥＝S△BCD·AD31＝×BC·DE·AD131231例6：已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ问题1、ADcosθ有什么几何意义？F结论：V三棱锥＝S△ABC·DF3131例6、已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ结论：V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED问题2、解答过程中的×BC·AEcosθ·AD其中AEcosθ·AD可表示什么意思？212131∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD21又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？CDAB问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式V四面体＝S△BCD·h31解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：（一个锥体的体积计算可以间接求得）⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化，常常给人耳目一新的感觉。小结：4、定理及推论定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是V圆锥＝πr2h313131作业：1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求三棱锥的体积。