【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第三节平面向量的数量积考纲传真要求内容ABC平面向量的数量积√平面向量的平行与垂直√1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．|a||b|cosθ|b|cosθ2．两个向量的夹角(1)定义：图4­3­1对于两个向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．非零(2)范围：向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.[0，π]0ππ2a⊥b3．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝.λ(a·b)a·b＋a·c4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥ba·b＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x1x2＋y1y2＝0x21＋y21·x22＋y221．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的加、减、数乘、数量积运算的结果都是向量．()(2)若两个非零向量a和b的夹角为锐角，则a·b＞0，反之也成立．()(3)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.()(4)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.()[解析](1)错，两个向量的加、减、数乘运算的结果是向量，数量积运算的结果是一个实数．(2)错，反之不成立，当两非零向量同向时，满足a·b＞0，但夹角为0°.(3)错，若a≠0，b≠0时，由a·b＝0可得a⊥b.(4)对，数量积的运算法则不完全等同于实数的运算法则，不能约分．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材习题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为________．[解析]∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－105×4＝－12，∴〈a，b〉＝120°.[答案]120°3．已知|a|＝3，|b|＝5且a·b＝12，则a与b方向上的投影为________．[解析]向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝125.[答案]1254．(2013·大纲全国卷改编)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.[解析]∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，从而λ＝－3.[答案]－35．(2014·课标全国卷Ⅱ改编)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________.[解析]|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.[答案]1考向1平面向量数量积的运算【典例1】(1)在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则BC→·CA→＝________.(2)已知a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，则x＝________.(3)(2013·江西高考)设向量e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．[解析](1)由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝52＋82－722×5×8＝12.BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(π－C)＝－abcosC＝－5×8×12＝－20.(2)由a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得1×2＋(－1)·x＝1，∴x＝1.(3)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×12＝5，所以a在b方向上的射影为|aa，b＝a·b|b|＝52.[答案](1)－20(2)1(3)1【规律方法】1．(1)BC→与CA→的夹角是角C的补角，利用余弦定理可求角C的余弦．(2)根据数量积坐标运算列方程．(3)a在b方向上的射影(也叫投影)为|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|.2．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【变式训练1】(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.(2)(2013·湖北高考改编)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________．[解析](1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得x＝4.(2)由已知得AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，|CD→|＝52，因此AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.[答案](1)4(2)322考向2平面向量的夹角与模【典例2】(1)(2014·大纲全国卷改编)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝________.(2)(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[解析](1)由题意知a＋b·a＝0，2a＋b·b＝0，即a2＋b·a＝0，2a·b＋b2＝0，①②将①×2－②得，2a2－b＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝2.(2)∵|a|＝3e1－2e22＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b|＝3e1－e22＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e21－9e1·e2＋2e22＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cosβ＝83×22＝223.[答案](1)2(2)223【规律方法】1．在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式．如a2＝|a|2是正确的，而a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|都是错误的．2．(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；(2)两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°；(3)两个非零向量a⊥b⇔a·b＝0.当向量a与b是坐标形式给出时，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)a与b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线；(5)a与b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．【变式训练2】(1)(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．(2)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.[解析](1)若|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ，即0＝4|b|2＋4·3|b|2cosθ，得cosθ＝－13.(2)因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝22.[答案](1)－13(2)22考向3数量积的综合应用(高频考点)命题视角平面向量的数量积是向量部分最重要的考点之一，重点考查数量积的计算和应用，主要命题角度有：(1)数量积与向量的线性运算；(2)向量的平行与垂直；(3)数量积与三角函数；(4)数量积与不等式．【典例3】(1)(2014·江苏高考)如图4­3­2所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．图4­3­2(2)(2014·重庆高考改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.(3)(2014·南京市、盐城市模拟)在△ABC中，BC＝2，A＝2π3，则AB→·AC→的最小值为________．[思路点拨](1)以AD→，AB→为基底表示AP→和BP→，代入AP→·BP→＝2.(2)(2a－3b)⊥c⇔(2a－3b)·c＝0转化为关于k的方程．(3)利用余弦定理和基本不等式求解．[解析](1)由CP→＝3PD→，得DP→＝14DC→＝14AB→，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，BP→＝AP→－AB→＝AD→＋14AB→－AB→＝AD→－34AB→.因为AP→·BP→＝2，所以AD→＋14AB→·AD→－34AB→＝2，即AD→2－12AD→·AB→－316AB→2＝2.又因为AD→2＝25，AB→2＝64，所以AB→·AD→＝22.(2)因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.(3)由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos2π3≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，所以AB·AC≤43.所以AB→·AC→＝AB·AC·cos2π3≥－23，即(AB→·AC→)min＝－23，等号当且仅当AB＝AC取得．[答案](1)22(2)3(3)－23【通关锦囊】1．如果将数量积的计算放到平面图形中求解，就要有：①“基底”的意识，适当选取一组基底，沟通向量之间的联系．如本例(1)，用AD→，AB→为基底表示AP→和BP→；②“坐标”意识，即把几何图形放在适当的坐标系中，赋予有关点与向量具体的坐标，然后进行相应的代数运算．2．解决(2)的关键是把向量垂直转化为数量积为0.3．向量AB→，AC→的模就是△ABC中两边长，夹角是定值，利用余弦定理和基本不等式，从而使问题得到解决．【变式训练3】(1)(2014·南通市调研)在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则AB→·AC→的值为________．(2)(2013·山东高考)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．[解析](1)由题意，在△ABC中，D是BC的中点，结合向量加减运算可得：AB→＝DB→－DA→，AC→＝DC→－DA→，则AB→·AC→＝(DB→－DA→)·(DC→－DA→)＝DB→·DC→－DA→(DB→＋DC→)＋DA→2，∵D为BC的中点，∴DB→＝－DC→，∴DB→＋DC→＝0，DB→·DC→＝－DB→2＝－100，∴AB→·AC→＝－100＋64＝－36.(2)∵AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝0.又AP→＝λAB→＋AC→，BC→＝AC→－AB→，∴(λAB→＋AC→)(AC→－AB→)＝0，即(λ－1)AC→·AB→－λAB→2＋AC→2＝0，∴(λ－1)|AC→||AB→|cos120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.[答案](1)－36(2)712记清1个条件两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.熟研2个探究1.若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(不能)2.若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝