【高考调研】2013届高考理科数学一轮复习课件：9.1 直线方程

第九章平面解析几何2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）第1课时直线方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.2012·考纲下载直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.请注意！1．直线的有关概念(1)直线倾斜角的范围是0°≤α180°.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向量的坐标为；若l的斜率为k，则方向向量的坐标为．(x2－x1，y2－y1)(1，k)2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率为y2－y1x2－x1.tanα3．直线方程的几种基本形式(1)点斜式：，注意斜率k是存在的．(2)斜截式：，其中b是直线l在上的截距．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2且y1≠y2)，当方程变形为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0时，对于一切情况都成立．y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋by轴(4)截距式：xa＋yb＝1，其中a·b≠0，a为l在x轴上的截距，b是l在y轴上的截距．(5)一般式：，其中A、B不同时为0.Ax＋By＋C＝01．(课本习题改编)下列四个命题中真命题的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以用方程：(y－y1)(x2－x1)－(x－x1)(y2－y1)＝0表示．C．不过原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示．D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．答案B2．直线xsinπ7＋ycosπ7＝0的倾斜角是()A．－π7B.π7C.5π7D.6π7答案D解析由题意得：直线方程为y＝－tanπ7·x，∴k＝－tanπ7＝tan67π，∵0≤απ，∴α＝67π.3．若ab0，则过点P0，－1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是()A.0，π2B.π2，πC.－π，－π2D.－π2，0答案B解析kPQ＝－1b－00－1a＝ab0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为π2，π.4．(2012·济南模拟)过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析由题意1a＋3b＝1⇒(a－1)(b－3)＝3.有两组解a＝2，b＝6或a＝4，b＝4.5．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．答案x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0解析由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.题型一直线的斜率例1(1)设直线2x＋my＝1的倾斜角为α，若m∈(－∞，－23)∪[2，＋∞)，则角α的取值范围是________．【解析】据题意知tanα＝－2m，∵m－23或m≥2.∴0tanα33或－1≤tanα0.∴α∈(0，π6)∪[3π4，π)．【答案】α∈(0，π6)∪[3π4，π)．(2)直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是________．【解析】本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的单调性．如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.kMP＝5，kMQ＝－25.当直线l从MP开始绕M逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5，当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，∴斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－25，故直线l的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．【答案】(－∞，－25]∪[5，＋∞)探究1处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图像，将角分为[0，π2)、(π2，π)两部分分别对应斜率中的非负值和负值．思考题1已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：(1)求直线AB的斜率；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m∈[－33－1，3－1]，求直线AB的倾斜角α的范围．【解析】(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在，当m≠－1时，k＝1m＋1.(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．(3)①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]综合①②知直线AB的倾斜角α为[π6，23π]．题型二求直线方程例2求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．【解析】(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝35，∴cosα＝±45，直线的斜率k＝tanα＝±34.又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±34x－5.(2)设直线l在x、y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点P(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.【答案】(1)y＝±34x－5(2)2x－3y＝0或x＋y－5＝0(3)3x＋4y＋15＝0探究2在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．思考题2已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝π3，∠B＝π4.求：(1)AB边的方程；(2)AC和BC所在的直线方程．【解析】(1)AB边的方程为y＝1.(2)∵∠A＝π3，AB∥x轴，∴直线AC的倾斜角为π3，斜率为3，∴AC的直线方程为3x－y＋1－3＝0，∵∠B＝π4，∴直线BC的倾斜角为3π4，∴斜率为－1，∴BC的直线方程为x＋y－6＝0.题型三直线方程的应用例3经过点P(2,1)的直线l分别与两坐标轴的正半轴交于A，B两点；(1)求当△AOB的面积最小时直线l的方程；(2)求当|OA|＋|OB|最小时直线l的方程；(3)求当|PA|·|PB|最小时直线l的方程；(4)求当|OA|·|OB|最小时直线l的方程．【解析】由条件知，斜率k必存在．设直线方程为y－1＝k(x－2)，显然k0，当x＝0时，y＝1－2k；y＝0时，x＝2－1k，(1)△AOB的面积为S＝12(1－2k)(2－1k)＝2＋－1k＋－4k2≥2＋－1k·－4k≥2＋2＝4，当且仅当(－1k)＝(－4k)即k＝－12时等号成立，此时直线方程为y－1＝－12(x－2)，所以当△AOB的面积最小时直线l的方程为x＋2y－4＝0.(2)|OA|＋|OB|＝(1－2k)＋(2－1k)＝3＋(－1k)＋(－2k)≥3＋2－1k·－2k＝3＋22.当且仅当(－1k)＝(－2k)即k＝－22时等号成立，此时直线方程为y－1＝－22(x－2)，所以当|OA|＋|OB|最小时直线l的方程为x＋2y－2－2＝0.(3)|PA|·|PB|＝2－1k－22＋1·22＋1－2k－12＝21＋1k21＋k2＝22＋1k2＋k2≥22＋21k2·k2＝4，当且仅当1k2＝k2即k＝－1时等号成立．此时直线方程为y－1＝－(x－2)．所以当|PA|·|PB|最小时直线l的方程为x＋y－3＝0.(4)同(1)，所以当|OA|·|OB|最小时直线l的方程为x＋2y－4＝0.【答案】(1)x＋2y－4＝0(2)x＋2y－2－2＝0(3)y－1＝－(x－2)(4)x＋2y－4＝0探究3利用待定系数法设出直线方程，转化为求最值是一类常见题型．思考题3已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求yx的最值．【解析】如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2,4)，B(3,2)．因为yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝23，所以yx的最大值为2，最小值为23.【答案】最大值为2，最小值为231．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．4．重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P(x，y)，再找出x，y的一次关系式．