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章末整合反馈在选取直线方程时选取截距式，常常忽视截距为零的情况．求与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【错解】设所求直线方程为xa＋ya＝1，即x＋y－a＝0.因为点M(4,3)与所求直线的距离为5，所以|4＋3－a|2＝5.解得a＝7±52.故所求直线方程为x＋y－7－52＝0或x＋y－7＋52＝0.误区一忽视“零截距”致误【错解分析】本题忽略了截距为零的情况导致出错．因为截距存在的直线不能用截距式方程表示，如果选用截距式，一定要考虑截距为零是否适合题设．【正解】当截距不为0时，设所求直线方程为xa＋ya＝1，即x＋y－a＝0，∵点M(4,3)与所求直线的距离为5，∴|4＋3－a|2＝5，∴a＝7±52.∴所求直线方程为x＋y－7－52＝0或x＋y－7＋52＝0.当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.同理可得|4k－3|1＋k2＝5，∴k＝－43.∴所求直线方程为y＝－43x，即4x＋3y＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y－7－52＝0或x＋y－7＋52＝0或4x＋3y＝0.在选用点斜式与斜截式直线方程时易忽视斜率不存在的情况．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程．【错解】由2x＋y－5＝0x－2y＝0得两直线交点为(2,1)，设l：y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，则|5k＋1－2k|1＋k2＝3，解得k＝43，∴l：4x－3y－5＝0.误区二忽略直线斜率不存在的情况而致误【错解分析】错在将直线l的方程设为点斜式时忽视了斜率不存在的情况．事实上，满足条件的直线l有两条，其中一条就是斜率不存在的情况．【正解】法一：联立2x＋y－5＝0，x－2y＝0，得交点P(2,1)．设l的方程为y－1＝k(x－2)(k存在)，即kx－y－2k＋1＝0.∵|5k－2k＋1|k2＋1＝3，∴(3k＋1)2＝9(k2＋1)，即k＝43.∴l的方程为：4x－3y－5＝0.当k不存在时，直线l：x＝2，此时点A(5,0)到l的距离也为3.∴直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12.∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.在圆的方程中，x，y都有范围限制，在进行变量代换时不要忽视变量x，y的范围．已知圆的方程是x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2的最值．【错解】∵x2＋y2－2x＝0，∴y2＝－x2＋2x.∴2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以2x2＋y2有最小值－1，但没有最大值．误区三忽视圆中变量的取值范围致误【错解分析】本题在解答过程中，把变量y替换为x，这一步是正确的；配方后，由于把变量x的范围默认为全体实数，而导致结果错误．事实上，在已知的方程中，配方得(x－1)2＋y2＝1，圆心(1,0)，半径为1，所以0≤x≤2，而不是x∈R.【正解】由x2＋y2－2x＝0得y2＝－x2＋2x，所以2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.又因为x∈[0,2]，所以(x＋1)2－1∈[0,8]，所以2x2＋y2的最小值是0，最大值是8.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．过点A(3,1)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求直线l的方程．【错解】设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.由圆心到直线l的距离等于圆的半径，得|2k－3－3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝－34.因此，所求直线l的方程为3x＋4y－13＝0.误区四忽视斜率不存在的直线致错【错解分析】由于点A在圆外，过圆外一点引圆的切线应有两条，错解漏掉了斜率不存在的直线．【正解】当直线l的斜率存在时，同错解得直线l的方程为3x＋4y－13＝0.当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，适合题意．因此，所求直线l的方程是x＝3或3x＋4y－13＝0.对于椭圆的标准方程，焦点总是落在分母较大的未知数对应的轴上．若不能确定焦点位置，要注意分类讨论．若椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m的值为________．【错解】∵a2＝2，b2＝m.∴c2＝2－m.∴e2＝c2a2＝2－m2＝122，解得m＝32.误区五椭圆焦点位置判断失误【错解分析】已知椭圆的位置不确定，焦点可能在x轴上也可能在y轴上．【正解】当焦点在x轴上时，同错解得m＝32.当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝2.∴c2＝m－2，e2＝c2a2＝m－2m＝122，解得m＝83.答案：32或83直线与拋物线有一个交点并不表明直线与拋物线相切，因为当直线与对称轴平行时，直线与拋物线也只有一个交点．因此通过方程判断直线与拋物线的位置关系时，要注意这种情况．求过定点P(0,1)与拋物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．错解一：设所求直线方程为y＝kx＋1，由方程组y＝kx＋1y2＝2x消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.若直线与拋物物只有一个公共点，误区六忽视对参数的讨论而致误Δ＝4(k－1)2－4k2＝0∴k＝12，即所求直线方程为y＝12x＋1.错解二：(1)若直线斜率不存在，则过P(0,1)的直线方程为x＝0.由x＝0y2＝2x得x＝0，y＝0，即直线x＝0与拋物线只有一个公共点．(2)若直线斜率存在，设为k，则方程是y＝kx＋1，由y＝kx＋1y2＝2x消元得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，若直线与拋物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝12.即直线方程为y＝12x＋1.综上所述，所求直线方程为y＝12x＋1或x＝0.【错解分析】错解一：错误之一是遗漏直线斜率不存在的情况，仅考虑存在斜率的直线，错误之二是消元后方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0被认定为二次方程，因而由直线与拋物线只有一个公共点，得出Δ＝0，事实上方程的二次项系数是含字母的k2，方程不一定是二次方程．当k＝0时，方程是一次方程－2x＋1＝0，此时方程只有一解．错解二：注意到了斜率不存在的情况，但与错解一一样没有注意到方程中k＝0时方程为一次方程．【正解】(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，由x＝0y2＝2x得x＝0y＝0即直线x＝0与拋物线只有一个公共点．(2)若直线斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝kx＋1由y＝kx＋1y2＝2x消元得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，当k＝0时得x＝12y＝1，即直线y＝1与拋物线只有一个公共点．当k≠0时，若直线与拋物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝12∴直线方程为y＝12x＋1综上所述，所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.涉及到双曲线的定义时，要注意“常数”所满足的条件以及绝对值所起的作用，要注意与椭圆中的有关式子进行比较，并加以区别．已知点P在双曲线x216－y28＝1上，且点P到双曲线右焦点F的距离是12，求点P到左焦点E的距离．【错解】由双曲线定义得|PE|－|PF|＝2a＝8，故|PE|＝|PF|＋8＝20，【错解分析】错解中的解法没有正确运用双曲线定义导致丢解．【正解】由双曲线定义得||PE|－|PF||＝2a＝8，即||PE|－12|＝8，∴|PE|＝20或4.误区七对双曲线的定义理解不透而致误