动力学的临界和极值问题

动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0N，而且此时它们的速度相等，加速度相同。【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（）A、一直加速B、先减速，后加速C、先加速、后减速D、匀加速F答案：C【例】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m的托盘，托盘上有一个质量为m的木块。用竖直向下的力将原长为0l的弹簧压缩后突然撤去外力，则m即将脱离0m时的弹簧长度为（）A、0lB、kgmml00C、kmgl0D、kgml00答案：A【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为45的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以加速度______a向的左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以ga2加速度向左运动时，线的拉力大小______F。aPA45°答案：g、mg5【例】一个质量为kg2.0的小球用细线吊在倾角53的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以2/10sm的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。答案：N83.2、0【例】如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B。它们的质量分别为Am、Bm，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为g。答案：①ABAmgmmFasin；②kgmmdBAsin。【例】如图所示，一根劲度系数为k质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体A。手持一质量为M的木板B，向上托A，使弹簧处于自然长度。现让木板由静止开始以加速度a（ga）匀加速向下运动，求：（1）经过多长时间A、B分离。（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。答案：①kaagmt2；②最大：agmMF；最小：agmF。解：①分离时弹力为0，而且加速度为a；②开始运动时力最大：对系统：amMFgmM；AB分离时力最小：对B：maFmg【例】如图所示，木块A、B的质量分别为1m、2m，紧挨着并排放在光滑的水平面上，A与B间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角，A与B间的接触面光滑。现施加一个水平力F作用于A，使A、B一起向右运动且A、B一不发生相对运动，求F的最大值。答案：2211tanmgmmmF【例】如图所示，一质量为m的物块A与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止状态。若A、B粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B，当拉力的大小为mg5.0时，A物块上升的高度为L，此过程中，该拉力做功为W；若A、B不粘连，用一竖直向上的恒力F作用在B上，当A物块上升的高度也为L时，A与B恰好分离。重力加速度为g，不计空气阻力，求恒力F的大小。BA答案：mg5.1解：静止时，对AB：kmgx2；粘连时，缓慢地提：对AB：mgLxkF2；又mgF5.0不粘连，分离时：0N；对B：mamgF；对A：mamgLxk；由以上各式可得：mgF5.1。【例】如图所示，质量kgm10的小球挂在倾角为37的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：（重力加速度为2/10smg）（1）ga5.01时，绳子拉力和斜面的弹力大小；（2）ga22时，绳子拉力和斜面的弹力大小。α答案：①N100N50；②N510002、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：0T。【例】如下图所示，两绳系一个质量为kgm1.0的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长mL2,两绳都拉直时与轴夹角分别为30和45。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？答案：sradsrad/16.3/40.2【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为60和30，物体的质量为m。当小车以大小为g2的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大小分别为多少？答案：0mg5。3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。【例】物体A的质量kgM1，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为kgm5.0、长mL1。某时刻A以smv/40向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数2.0，取重力加速度2/10smg。试求:（1）若NF5，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；（2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足的条件。答案：①m5.0；②NFN31。解：①由牛顿第二定律：对A：1MaMg；对B：2maMgF；此后，物体A将做减速运动，而B将加速，直到达到共速；有：tatavv210共得：st25.0此时，相对位移mmSSSBA15.0相之后，A将从B的左端滑下。②当F较小时，A将从B的右端滑下，临界条件是：A到达B的右端时，A、B具有共同的速度。当F较大时，A将从B的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时，A、B相对静止。此时：mff滑。【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)答案：ga12212解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为v，末速度为0），则有：对圆盘：2LSS减加；加速阶段：11mamg；122avS加；减速阶段：22mamg；222avS减；设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为S。对桌布：221atS；由运动情况：2LSS加；2121taS加。由以上各式得：ga12212。【例】如图所示，一质量kgm500的木箱放于质量kgM2000的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离ml6.1，已知木箱与木板间的动摩擦因数484.0，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的2.0倍。平板车以smv/220的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：（1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间？（2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少？答案：①s4.4；②N31042.7。解：①设箱的位移为1S，车的位移为2S；车的加速度为a。箱子如果不与车相碰，则有：lSS21由牛顿定律，对箱：1mamg；由运动学公式，对箱：12012avS；对车：avS2202；由以上各式有：2/5sma，所以savt4.40。②设汽车的制动力为F，由牛顿第二定律：MagmMkFmg得：NF31042.7【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度0a开始启动沿直线运动。当其速度达到0v后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为kgmA0.2薄木板A和质量为kgmB0.3的金属块B。A的长度mL0.2。B上有轻线绕过定滑轮与质量为kgmC0.1的物块C相连。B与A之间的滑动摩擦因数10.0，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后B从A的右端脱离（设A的右端距滑轮足够远）（2/10smg）。【例】一圆环A套在一均匀圆木棒B上，A的高度相对B的长度来说可以忽略不计。A和B的质量都等于m，A和B之间的滑动摩擦力为f（mgf）。开始时B竖直放置，下端离地面高度为H，A在B的顶端，如图所示。让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多长？答案：HfmggmL2228；解：开始释放后，A、B一起做自由落体运动，设其到达地面前瞬间的速度为1v。由机械能守恒：21212mvmgH；B与地面撞击后，环A将做加速运动（设其加速度为1a），而B将做减速运动（设其加速度为2a），当B的速度减为0后，反向又以2a加速，直到B再次落地，由对称性可知：此时B的速度依然为1v。由牛顿第二定律，对A：1mafmg；对B：2mafmg；故它们运动的时间为：212avt；此时：棒运动的位移为0，环相对于棒运动的位移，对环：有：21121tatvS；棒的长度：SL，即HfmggmL2228。4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有：滑fffm。【例】如图所示，质量分别为m和m2的两物体A、B叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知A、B间的最大摩擦力为A物体重力的倍，若用水平力分别作用在A或B上，使A、B保持相对静止做加速运动，则作用于A、B上的最大拉力AF与BF之比为多少？ABF答案：21：：BAFF【例】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和m2的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是mg。现用水平拉力F拉其中一个质量为m2的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（）A、5mg3B、4mg3C、2mg3D、mg3