2014步步高大一轮数学 第六章6.1 数列的概念及简单表示法

§6.1数列的概念及简单表示法第六章数列数学RA（理）基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．数列的定义按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数按项数分类无穷数列项数一定顺序有限无限项(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．1.对数列概念的理解基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理递增数列an＋1___an递减数列an＋1___an按项与项间的大小关系分类常数列an＋1＝an其中n∈N*有界数列存在正数M，使|an|≤M按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．2.数列的函数特征基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝n＝1n≥2.2.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．列表法图象法解析法序号nS1Sn－Sn－1基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测A2n－113n(n－1)an＝2n－1(n∈N*)A基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型一由数列的前几项求数列的通项基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．思维启迪解析探究提高由数列的前几项求数列的通项【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….题型分类·深度剖析题型一思维启迪解析探究提高由数列的前几项求数列的通项解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….题型分类·深度剖析题型一(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．思维启迪解析探究提高由数列的前几项求数列的通项基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(2)32，1，710，917，…；(3)0,1,0,1，….题型分类·深度剖析解(1)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此an＝(－1)n·2n－32n.(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，(3)an＝0n为奇数1n为偶数或an＝1＋－1n2或an＝1＋cosnπ2.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.思维启迪探究提高解析题型分类·深度剖析题型二由数列的递推关系求通项公式基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.(1)可构造等比数列求解；(2)可使用累加法．探究提高思维启迪题型分类·深度剖析题型二解析由数列的递推关系求通项公式基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二解析由数列的递推关系求通项公式解(1)∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋a＝2(an＋a)，与an＋1＝2an＋1比较可知a＝1，又a1＝1，∴a1＋a＝2.故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.(2)当n取1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其两边分别相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，∴an＝a1＋1＋n－1n－12＝2＋nn－12.基础知识题型分类思想方法练出高分已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型二解析由数列的递推关系求通项公式【例2】(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.题型分类·深度剖析解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.题型分类·深度剖析(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.题型分类·深度剖析题型三由数列的前n项和求通项公式思维启迪探究提高解析基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．思维启迪探究提高解析由数列的前n项和求通项公式【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.题型分类·深度剖析题型三解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，思维启迪探究提高解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1由数列的前n项和求通项公式＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.题型分类·深度剖析题型三思维启迪探究提高解析当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.由数列的前n项和求通项公式基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.题型分类·深度剖析题型三数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．思维启迪探究提高解析由数列的前n项和求通项公式基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练3已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为_______________________．解析当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.an＝2，n＝16n－5，n≥2基础知识题型分类思想方法练出高分典例：(12分)已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值