2016年高考真题解答题专项训练：立体几何(理科)教师版

试卷第1页，总17页2016年高考真题解答题专项训练：立体几何（理科）教师版1．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=12AC=23，AB=BC．求二面角FBCA的余弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）试题解析：（Ⅰ）证明：设FC的中点为I,连接,GIHI,在CEF△,因为G是CE的中点，所以,GIEF∥又,EFOB∥所以,GIOB∥在CFB△中，因为H是FB的中点，所以HIBC∥，又HIGII,所以平面GHI∥平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC.（Ⅱ）解法一：连接OO',则OO'平面ABC，又,ABBC且AC是圆O的直径，所以.BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，试卷第2页，总17页由题意得(0,23,0)B，(23,0,0)C，过点F作FMOB垂直于点M，所以223,FMFBBM可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BCBF.设(,,)xyzm是平面BCF的法向量.由0,0BCBFmm可得23230,330xyyz可得平面BCF的一个法向量3(1,1,),3m因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n所以7cos,||||7mnmnmn.所以二面角FBCA的余弦值为77.解法二：连接OO'，过点F作FMOB于点M，试卷第3页，总17页则有FMOO'∥,又OO'平面ABC，所以FM⊥平面ABC,可得223,FMFBBM过点M作MNBC垂直于点N，连接FN，可得FNBC,从而FNM为二面角FBCA的平面角.又ABBC,AC是圆O的直径，所以6sin45,2MNBM从而422FN，可得7cos.7FNM所以二面角FBCA的余弦值为77.2．如图，在四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=12AD．E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P–CD–A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）EDCBPA试卷第4页，总17页试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，试卷第5页，总17页所以AH=22.在Rt△PAH中，PH=22PAAH=322，所以sinAPH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）.设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PEECnn得20,0,xzxy设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin=||||||APAPnn=22221322(2)1.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.试卷第6页，总17页3．本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为2π3，11AB长为π3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.（1）求三棱锥111COAB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷精编版）试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r．由11AB的长为π3，可知111π3ΑΟΒ．111111111113sin24ΟΑΒSΟΑΟΒAΟΒ△，11111113V312ΟOABΑCΒSh△．（2）设过点1Β的母线与下底面交于点Β，则11//ΒΒΑΑ，所以1CΒΒ或其补角为直线1ΒC与1ΑΑ所成的角．由AC长为2π3，可知2π3ΑΟC，又111π3ΑΟΒΑΟΒ，所以π3CΟΒ，从而CΟΒ△为等边三角形，得1CΒ．因为1ΒΒ平面ΑΟC，所以1ΒΒCΒ．在1CΒΒ△中，因为1π2ΒΒC，1CΒ，11ΒΒ，所以1π4CΒΒ，从而直线1ΒC与1ΑΑ所成的角的大小为π4．试卷第7页，总17页4．如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版）试题解析：（Ⅰ）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC．又因为//EFBC，1BEEFFC，2BC，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则FC．所以F平面ACFD．（Ⅱ）方法一：过点F作FQAK于Q，连结BQ．因为F平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK．所以BQF是二面角BADF的平面角．在RtACK中，3AC，2CK，得31313FQ．在RtBQF中，31313FQ，3BF，得3cos4BQF．试卷第8页，总17页所以二面角BADF的平面角的余弦值为34．方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形．取BC的中点O，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以，KO平面ABC．以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．由题意得1,0,0B，1,0,0C，0,0,3K，1,3,0A，13,0,22E，13F(,0,)22．因此，0,3,0AC，1,3,3AK，2,3,0AB．设平面ACK的法向量为，平面ABK的法向量为．由0{0ACmAKm，得111130{330yxyz，取3,0,1m；由0{0ABnAKn，得22222230{330xyxyz，取．于是，3cos,4mnmnmn．所以，二面角BADF的平面角的余弦值为34．5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11BDAF，1111ACAB.试卷第9页，总17页求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABCABC中，11ACAC，在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是11DEAC，又因为DE平面1111,ACFAC平面11ACF，所以直线DE//平面11ACF.（2）在直三棱柱111ABCABC中，1111AAABC平面因为11AC平面111ABC，所以111AAAC，又因为111111111111111,,ACABAAABBAABABBAABAAA，平面平面，所以11AC平面11ABBA.因为1BD平面11ABBA，所以111ACBD.又因为1111111111111,,BDAFACACFAFACFACAFA，平面平面，所以111BDACF平面.因为直线11BDBDE平面，所以1BDE平面11.ACF平面【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系6．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.试卷第10页，总17页（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）试题解析：依题意，OFABCD平面，如图，以O为点，分别以,,ADBAOF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得0,0,0O，1,1,0,1,1,0,1,1,0,11,0,1,1,2,0,0,2,1,0,0ABCDEFG，.（Ⅰ）证明：依题意，2,0,0,1,1,2ADAF.设1,,nxyz为平面ADF的法向量，则110{0nADnAF，即20{20xxyz.不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1,2EG，可得10EGn，又因为直线EGADF平面，所以//EGADF平面.（Ⅱ）解：易证，1,1,0OA为平面OEF的一个法向量.依题意，1,1,0,1,1,2EFCF.试卷第11页，总17页设2,,nxyz为平面CEF的法向量，则220{0nEFnCF，即0{20xyxyz.不妨设1x，可得21,1,1n.因此有2226cos,3OAnOAnOAn，于是23sin,3OAn，所以，二面角OEFC的正弦值为33.（Ⅲ）解：由23AHHF，得25AHAF.因为，所以2224,,5555AHAF，进而有334,,555H，从而284,,555BH，因此2227cos,21BHnBHnBHn.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.视频7．如图,在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中,平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑃𝐴⊥𝑃𝐷,𝑃𝐴=𝑃𝐷,𝐴𝐵⊥𝐴𝐷,𝐴𝐵=1,𝐴𝐷=2,𝐴𝐶=𝐶𝐷=√5.（1）求证:𝑃𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵；（2）求直线𝑃𝐵与平面𝑃𝐶𝐷所成角的正弦值；（3）在棱𝑃𝐴上是否存在点𝑀,使得𝐵𝑀∥平面𝑃𝐶𝐷？若存在,求𝐴𝑀𝐴𝑃的值；若不存在,说明理由.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，所以平面.试卷第12页，总17页所以.又因为，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.