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2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这样特征的推理，或者由概括出的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由到、由到的推理．归纳推理包括和部分对象全部对象个别事实一般结论部分个别一般不完全归纳法完全归纳法．整体[例1]根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；(2)a1＝a，an＋1＝12－an；(3)对一切的n∈N*，an＞0，且2Sn＝an＋1.[分析]写出a1，a2，a3，a4，观察所得数与项数n之间的规律．[解析](1)由已知有a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.猜测出an＝2n＋1－1，n∈N*(n≥2)．(2)由已知有a1＝a，a2＝12－a1＝12－a，a3＝12－a2＝2－a3－2a，a4＝12－a3＝3－2a4－3a.猜测出an＝(n－1)－(n－2)an－(n－1)a.(n≥2)[点评]以上归纳推出一般性结论的方法称作不完全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1、5、9、13、17、()；(2)23、1、112、214、338、()；(3)34、58、12、922、1132、()；(4)32、31、16、26、()、()、4、16、2、11.[解析]要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．(1)考察相邻两数的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以括号里的数是17＋4＝21.[答案](1)21(2)5116(3)1344(4)821(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为23、1、32、94、278.可以发现：1÷23＝32，32÷1＝32，94÷32＝32，278÷94＝32.后一个数是前一个数的32倍，按照这个规律，括号中的数应是278×32＝8116＝5116.(3)为探究规律，作适当变形：34、58、714、922、1132.这样一来，分子部分呈现规律：自3起，依次递增2，故括号内的数的分子为13.再看分母部分：4、8、14、22、32.相邻两数之差得4、6、8、10.可见括号内的数的分母应为32＋12＝44.故括号中应填入1344.(4)分成两列数：奇数位的数为32、16、()、4、2.可见前面括号中应填入8；偶数位的数为31、26、()、16、11.括号中的数应填入21.所以两括号内依次填入8、21.[例2]数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．[分析]仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出三者之间的关系．[解析]各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610正方体6812正八面体8612五棱柱71015截角正方体71015尖顶塔9916观察其数字特征：4＋4－6＝2；5＋5－8＝2；5＋6－9＝2;6＋6－10＝2；6＋8－12＝2;8＋6－12＝2；7＋10－15＝2;9＋9－16＝2.可以发现，它们的顶点数V，棱数E及面数F有共同的关系式：V＋F－E＝2.[点评]归纳常常从观察开始，通过观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．[解析]n＝2时，交点个数：f(2)＝1.n＝3时，交点个数：f(3)＝3.n＝4时，交点个数：f(4)＝6.n＝5时，交点个数：f(5)＝10.猜想f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．观察：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．[解析]观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为kπ＋π2(k∈Z)，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，所以tan(α＋β)＝1tanγ.又因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanα·tanβ)＝1tanγ(1－tanα·tanβ)，所以tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanαtanβ＋tanγ(tanα＋tanβ)＝tanαtanβ＋tanγ·1tanγ(1－tanαtanβ)＝1.综上所述，等式成立．一、选择题1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为()A．3B．－3C．6D．－6[答案]A[解析]a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3，a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3.归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故应选A.A．相等B．前者大C．后者大D．不确定2．由71058，911810，1325921，…若ab0，m0，则b＋ma＋m与ba之间的大小关系为()[答案]B[解析]∵710＝5＋28＋258，911＝8＋110＋1810，1325＝9＋421＋4921，…都成立，∴猜想：若ab0，m0，则b＋ma＋mba，下面证明∵b＋ma＋m－ba＝ab＋am－ab－bma(a＋m)＝m(a－b)a(a＋m)0，∴b＋ma＋mba，故应选B.3．已知x0，由不等式x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，…，启发我们可以得到推广结论：x＋axn≥n＋1(n∈N＋)，则a等于()A．n2B．nnC．2n－1D．(2n)2[答案]B[解析]由x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，可推广x＋bx3＝x3＋x3＋x3＋bx3≥4，知b＝33，所以对于结论x＋axn＝xn＋xn＋…＋xn＋axn≥n＋1知a＝nn，故应选B.二、填空题4．如图是由一些小正方体摞成的．第(1)堆有1个，第(2)堆有4个，第(3)堆有10个…，则第n堆有________个小正方体．[答案]16n(n＋1)(n＋2)个[解析]第一堆有1个；第二堆有1＋(1＋2)＝4个；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10个；……；第n堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝16n(n＋1)(n＋2)个．5．(2010·陕西文，11)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．[答案]13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)[解析]本小题主要考查抽象概括能力和推理能力．由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.三、解答题6．观察下列等式，你能得到什么结论？所得结论是否成立？2＋2＝4，2×2＝4，32＋3＝412，32×3＝412，43＋4＝513，43×4＝513.[解析]结论为n＋1n＋(n＋1)＝n＋1n·(n＋1)(n∈N*)．显然它是成立的．∵n＋1n＝1＋1n，两边同乘以n＋1即得：n＋1n·(n＋1)＝(n＋1)＋n＋1n.