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12015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标II）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）考点：并集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若a为实数且，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4考点：复数相等的充要条件．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行求解即可．解答：解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．点评：本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著2B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关考点：频率分布直方图．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．解答：解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D点评：本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．解答：解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C点评：本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11考点：等差数列的前n项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由已知结合等差数列的性质求得a3=1，再由S5=5a3得答案．解答：解：∵数列{an}是等差数列，且a1+a3+a5=3，得3a3=3，即a3=1．∴S5=5a3=5．故选：A．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．36．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．解答：解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．点评：本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．菁优网版权所有专题：直线与圆．分析：利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．解答：解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BCD垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得4|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|==，故选：B点评：本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．59．（5分）已知等比数列{an}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．考点：等比数列的通项公式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π考点：球的体积和表面积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．解答：解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．点评：本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．611．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．解答：解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1）B．∪C．（）D．（﹣∞，7（1，+∞），+∞）考点：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．菁优网版权所有专题：开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．解答：解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，注意（﹣1）3等于﹣1，而不要写成1．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．考点：简单线性规划．菁优网版权所有8专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．考点：双曲线的标准方程．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．解答：解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，9∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：开放型；导数的综合应用．分析：求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．解答：解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．解答：解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，10∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．点评：本题考查了内