1.3正弦定理、余弦定理的应用

一、距离的测量例1．A，B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA＝182ｍ，CB＝126ｍ，∠ACB＝63°，求A，B两地之间的距离（精确到１ｍ）．例2．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B．要测算出A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝78．35ｍ，∠B＝69°43′，∠C＝41°12′，试计算AB的长（精确到0.01ｍ）．问题：A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法．C分析:1.测量AB的距离可利用例1的方法构造△ABC;2.测量AC和BC的距离可利用例2的方法构造△ACD和△BCD.D思考：要测量哪些数据？例3．如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得∠ADC＝85°，∠BDC＝60°，∠ACD＝47°，∠BCD＝72°，CD＝100ｍ．设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B之间的距离（精确到1ｍ）．分析:S1△ACD中根据正弦定理计算AC；S2△BCD中根据正弦定理计算BC；S3△ABC中根据余弦定理计算AB.C二、高度的测量仰角、俯角、视角如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角．由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角叫做视角．解直角三角形:Rt△ACE和Rt△ADE中,列方程求解.β问题：AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的办法．ECDα分析:解斜角三角形:斜△ADC求AC，Rt△ACE中,求AE.例4．如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′．已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD（精确到1m）．回顾小结解斜三角形应用中应注意的问题：(1)认真分析题意，将已知元素和未知元素弄清楚，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，将实际问题中的数量关系归结为数学问题.(3)在选择关系式时，一是要力求简便；二是尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计算中误差的积累，并根据题目要求的精确度确定答案及注明单位.三、测量角度方向角、方位角方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．如图，目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”号是“北”或“南”字，第二个“×”号是“东”字或“西”字，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东60°，北偏西30°，西南方向，南偏东20°．从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．例1．如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则AB＝21x，BC＝9x，又AC＝10，∠ACB＝45°＋（180°－105°）＝120°．由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，即（21x）2＝102＋(9x)2－2×10×9xcos120°．化简，得36x2－9x－10＝０，解得x＝（h）＝40（min）（负值舍去）．32,143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC由正弦定理，得所以∠BAC≈21.8°，方位角为45°＋21.8°＝66.8°．答舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过40min就可靠近渔轮．四、物理问题例2．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30Ｎ，F2＝50Ｎ，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向（精确到0.1°）．思考：你能用向量方法求解吗？例3．如图，有两条相交成60°角的直路XX′，YY′，交点是O，甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3km，乙离O点1km．后来甲沿XX′的方向，乙沿Y′Y的方向，同时用4km／h的速度步行．（１）起初两人的距离是多少？（２）tｈ后两人的距离是多少？（３）什么时候两人的距离最短？解：（1）所求距离即为AB，在△OAB中，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos60°，＝32＋12－2×3×1×＝7，所以AB＝（km）．7（3）因为PQ2＝48t2－24t＋7＝48(t－)2＋4，41即在15分钟末，两人的距离最近，且为2km．所以当t＝时，PQ最短，且等于2，41五、几何问题例4．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解：设∠AOB＝α．在△AOB，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα．于是，四边形OACB的面积为S＝S△AOB＋S△ABC＝12OA·OBsinα＋AB243＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)4321因为0＜α＜π，所以当α＝，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大．6565＝2sin(α－)＋．4353＝sinα－cosα+4353回顾小结解三角形的应用题主要是解决生产、生活中测量河宽、山高、航海等实际问题．解题时要根据题意，从实际问题中抽象或构造一个或几个三角形，然后运用正、余弦定理进行计算，找到实际问题的解．