高二数学椭圆及其标准方程优质课教案

课题：椭圆及其标准方程一、教学目标学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。二、教学重点、难点（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。三、教学过程（一）创设情境，引入概念1、动画演示，生活中的椭圆。-天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。2动画演示思考:什么是椭圆？怎样画椭圆？（二）实验探究，形成概念1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。实验探究：保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？2、概括椭圆定义引导学生概括椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点21,FF距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆。教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。思考：焦点为21,FF的椭圆上任一点M，有什么性质？令椭圆上任一点M，则有)22(22121FFcaaMFMF思考：1、定义中的常数为什么要大于焦距？2、若常数等于焦距，轨迹是线段3、若常数小于焦距，轨迹不存在注:定义是判断椭圆的方法定义是椭圆的一个性质（三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是M2F1F【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；方案三：把F1、F2建在x轴上，以F2为原点；（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？）经过比较确定方案一.2．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过1F、2F的直线为x轴，线段12FF的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．设)0(221ccFF，点),(yxM为椭圆上任意一点，则aMFMFMP221，∴得aycxycx22222，（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得)()(22222222caayaxca．（2）b的引入．由椭圆的定义可知，ca22,∴220ac．让点M运动到y轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设222cab，于是得222222bayaxb，两边同时除以22ba，得到方程：222210xyabab（称为椭圆的标准方程）．（3）建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程．要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？F1xy0MF2图2bcaF1xy0MF2图2F1xy0MF2F1xy0MF2图2bca方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x，y交换了位置），直接得到方程222210yxabab．图1图34．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数a,b,c的关系：222cab)0(ba；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。（五）尝试应用，范例教学．例1下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a、b，说出焦点坐标．22(1)11616xy22(2)12516xy22(3)9252250xy22(4)321xy2222(5)11xymm注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．（六）变式训练，探索创新写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是40，、40，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.变式一：将上题焦点改为(0,4)、(0,4)，结果如何？变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？（七）小结归纳，提高认识师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。标准方程22ax+22by=1)0(ba22ay+22bx=1)0(ba图形a,b,c关系222cab222cab焦点坐标)0,(c),0(c焦点位置在x轴上在y轴上xy1F2FMOxy1F2FMO（八）作业训练，巩固提高1.P46习题2.1A组第1题，第2题第①小题.（九）板书设计：§2.1.1椭圆及其标准方程一．椭圆的定义三．例题二．椭圆的标准方程四.作业焦点在x轴上：222210xyabab焦点在y轴上；222210yxabab