高二数学等比数列的前n项和1

2．52．5.1等比数列的前n项和等比数列的前n项和1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于()A．4B.32C.169D．2A项是()B2．在等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中A．±4B．4C．±14D.143．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则)C数列{an}前7项的和为(A．63C．127B．64D．128)D4．在等比数列{an}中，已知a2a9＝8，a4a5a6a7＝(A．8B．16C．32D．645．在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝______.43重点等比数列的前n项和(3)在解决等比数列问题时，已知a1、an、q、n、Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”．(1)等比数列前n项和公式为Sn＝a11－qn1－qq≠1，当q＝1时Sn＝na1.(2)等比数列另一个前n项和公式为Sn＝a1－anq1－qq≠1.nb1a1＋an难点错位相减法求数列的前n项和如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法，方法如下：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当q＝1时，{bn}是常数列，Sn＝b1(a1＋a2＋…＋an)＝2；当q≠1时，qSn＝qa1b1＋qa2b2＋…＋qanbn＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，∴(1－q)Sn＝a1b1＋b2(a2－a1)＋b3(a3－a2)＋…＋bn(an－an－1)－anbn＋1＝a1b1＋d·b1·q1－qn－11－q－anbn＋1，∴Sn＝a1b1＋b1dq1－qn－11－q1－q－anbn＋1.等比数列的前n项和公式及应用例1：已知在等比数列{an}中，公比q＜1.(2)若a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．思维突破：求等比数列前n项和或已知前n项和求数列的通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出a1与q.(1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；解：(1)由已知得，a1＋a1q2＝10a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10a1q31＋q2＝54.∵a1≠0,1＋q2≠0，∴两式相除得q3＝18.∴q＝12，a1＝8，∴S5＝81－1251－12＝312.由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0，∵q＜1，∴q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式为an＝2×(－1)n－1；(2)由已知得a1q2＝2①a11－q41－q＝5×a11－q21－q②，当q＝－2时，代入①得a1＝12，通项公式为an＝12×(－2)n－1.运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．1－1.在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，求an.解：若q＝1，则S6＝2S3，这与已知S3＝72，S6＝632是矛盾的，所以q≠1.从而S3＝a11－q31－q＝72，S6＝a11－q61－q＝632.将上面两个等式的两边分别相除，得1＋q3＝9，所以q＝2，由此可得a1＝12，因此an＝12×2n－1＝2n－2.等比数列的综合应用例2：在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，Sn400，求n的范围．2－1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.∵n∈N*且必须为偶数，∴n≥8.a11－q3a11－q62a11－q9解：(1)当q＝1时，∵S3＋S6＝9a1≠18a1＝2S9，∴q＝1不成立．(2)当q≠1时，∵S3＋S6＝2S9，∴＋＝1－q1－q1－q⇒q3＋q6＝2q9.∴1＋q3＝2q6.∴2(q3)2－q3－1＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，用分析法求与等比数列有关的数列的前n项和思维突破：观察数列，发现每一项是一个等比数列的和，为此先求出数列的通项，再将每一项拆成两部分分别求和．例3：求数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1的前n项和．数列求和，首先考虑能否直接应用等差、等比数列的求和公式；若不能，可从第n项入手，得到an的表达式，进一步考虑是否能转化(通过拆项等)成等差、等比数列再用公式求和．例4：已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.错因剖析：没有讨论公比q是否为1，就直接使用等比数列的前n项和公式Sn＝a11－qn1－q，从而出现漏解．正解：由题意得，若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2.a11－q321－q3若q≠1，则S3＝＝1－q1－q＝6，解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.4－1.(2010年天津)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()C