数系

第三章数系的扩充与复数的引入高二数学选修1-23.1.1《数系的扩充与复数的概念》很久以前，我们的祖先在生产劳动和日常生活中，就有了计数的需要。0、1、2、3、4…都是自然数。人们在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。比0大的数是正数，比0小的数是负数。整数和分数统称为有理数。实数可以分为有理数和无理数。【问题1】在自然数集中方程有解吗?40x【问题2】在整数集中方程有解吗?40x自然数整数自然数负整数复习准备有理数整数分数【问题3】在整数集中方程有解吗?320x自然数整数自然数负整数实数有理数无理数【问题4】在有理数集中方程有解吗?220x有理数整数分数自然数整数自然数负整数在实数集中方程有解吗?210x【问题5】【问题4】在有理数集中方程有解吗?220x在实数集中方程有解吗?210x【问题5】没有实数根21x210x数系的扩充NZQR用图形表示各数集关系如下引入新数自然数集整数集有理数集实数集在新数集中，原有运算及其性质仍然适用.？提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的原则是什么？答：扩充了两次扩充原因1、满足解决实际问题的需要。2、满足数学自身完善和发展的需要。扩充原则：①引入新的数。②在新数集中，原有运算及其性质仍然适用。探究新知对于一元二次方程在R上没有实数根．012x我们已经知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？答：a+i,bi,a+bi。提出问题：形如a+bi(a,b∈R)的数包括所有实数吗？包括原来没有遇到过的新数吗？写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C。答：形如a+bi(a,b∈R)的数，包括所有实数也包括新数bi和a+bi,实数a和新数i可以看作是a+bi(a,b∈R)这样数的特殊形式，即a=a+0i,i=0+i。实数系扩充后，得到的新数集C=｛a+bi(a,b∈R)｝。二、复数的概念定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数。全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。通常用字母z表示，即biaz实部虚部),(RbRa其中为虚数单位。i复数的代数形式：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．dicbia为实数）dcbadbca,,,(如何定义两个复数相等？注意：对两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。特别的：a+bi=0的充要条件是什么？a=0且b=0思考:对于复数z=a+bi，当且仅当a,b满足什么条件时，z为实数，为0，为虚数，为纯虚数。1.复数z=a+bi（a、b∈R）为实数的充要条件是b=0；2.复数z=a+bi（a、b∈R）为0的充要条件是a=b=0;3.复数z=a+bi（a、b∈R）为虚数的充要条件是a=0;4.复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0。说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。解：实数有虚数有纯虚数有i720,293),31(,,72,618.0,722iiii0,,618.0,722i,293),31(,72iii复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数z=a+bi分类000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR实数集R是复数集C的真子集，即复数z复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？思考？复数集虚数集实数集纯虚数集例1:实数m取什么值时，复数（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m例2已知，其中求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解题思考：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想：转化思想解：根据复数相等的定义，得方程组)3(112yyx得4,25yx归纳小结2.复数有关概念：)Rb,a(biaz复数的代数形式:复数的分类：复数相等dicbiadbca1.数的发展过程：CRQZN实数，虚数，纯虚数经历了数系扩充的过程了解了数系扩充的规律完成了中学阶段数系的最后一次扩充知识扩充2、当m为何实数时，复数（1）实数（2）虚数（3）纯虚数immmZ)1(222(3)m=-2(1)m=1(2)m11、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数学生活动：(√)(×)(×)作业:习题3.1A组第1、2题祝同学们学习进步！