正弦定理的推导和简单应用

教学目标1、掌握正弦定理的推导并充分挖掘定理推导过程中的数学思想方法；2、初步掌握正弦定理的简单应用；教学重点：正弦定理的推导和简单应用；教学难点：教学方法：讲练结合；数学思想方法的挖掘与渗透；一、复习和引入在初中我们学习过三角形中的一种边角关系是大边对大角，大角对大边有没有准确的数量关系描述它？我们从特殊情况入手研究这个问题ABCcba在直角三角形中：bcacsinAsinBsinC1ccsinacAsinbcBsinccCsinaAsinbBsincCcccsinaAsinbBsincC猜一猜在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？怎样证明呢?CcBbAasinsinsin一般三角形是否仍成立？ACBDab在锐角三角形中：作AB边上的高CDsinCDaBsinCDbAsinsinaBbA所以即sinsinabAB同理sinsinacAC二、定理证明△ABC为钝角三角形公式是否成立？自我探究:sinaAsinbBsincC正弦定理:在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2R其中，R表示该三角形外接圆的半径思考：还有些什么方法证明正弦定理？面积法向量法外接圆法三、剖析定理、加深理解1、从表达式的结构看，正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系2、正弦定理可以解决两类有关问题：①已知两角和任意边，求第三个角和其他两边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角。一般把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形判断正误在△ABC中1.若BA,则ba;2.若ab,则AB;3.若A:B=1:2,则a:b=1:2;4.若a:b=1:2,则A:B=1:2;5.若sinA:sinB=1:2,则a:b=1:2;6.已知a=10,b=,B=300,则A=45025()()()()()③A＝60°，B＝75°，a＝则：c＝622练一练：1、在△ABC中，①A＝30°，B＝45°，a＝2，则：b＝2②A＝105°，B＝45°，c＝2，则：b＝22则：sinB＝①a＝2，b＝，A＝45°22、在△ABC中，30°B＝21②a＝7，b＝14，A＝30°则：sinB＝B＝190°32③b＝2，c＝，B＝30°则：C＝60°或C＝120°sinaAsinbBsincC小结：正弦定理:在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2R其中，R表示该三角形外接圆的半径三角形的面积公式：1sin2bcA1sin2acB1S=sin2abC作业自编资料正弦定理（1）向量法ACABBC因为所以iACiABiBCcos(90)cos90cos(90)bAcaB即sinsinbAaB得sinsinabAB钝角三角形时可类似证明。△ABC是锐角三角形时，过点A作单位向量垂直于ABiBCAi面积法.△ABC为一般三角形Oyx解:如图建立直角坐标系.过C点作CDAB于D.D则点C的坐标(bcosA,bsinA)(bcosA,bsinA)于是△ABC的面积S△=Abcsin21同样可得S△=Bacsin21ABCbacCabsin211sin2bcA1sin2acB1S=sin2abC同除以，12abc得sinsinsinABCabcsinsinsinabcABC即外接圆法ABCDBD作△ABC外接圆的直径CDabc2sinsin2bbbRbBDR同理有2,2sinsinacRRAC即2sinsinsinabcRABC