高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)xa＋yb＝1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C由k＝tanα＝－33，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0解析：选A由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：选A由1＝4－mm＋2，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－32.所以l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1](1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝()A．－1B．－3C．0D．2(2)(2012·苏州模拟)直线xcosθ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________．[自主解答](1)tan3π4＝2y＋1－－34－2＝2y＋42＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.(2)由题知k＝－33cosθ，故k∈－33，33，结合正切函数的图象，当k∈0，33时，直线倾斜角α∈0，π6，当k∈－33，0时，直线倾斜角α∈5π6，π，故直线的倾斜角的范围是0，π6∪5π6，π.[答案](1)B(2)0，π6∪5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝π4，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝π4知，f(0)＝fπ2，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A.12，＋∞B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪12，＋∞D.－2，12解析：选D由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.∵kPA＝－2，kPB＝12，∴－2≤k≤12.直线方程典题导入[例2](1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．[自主解答](1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1,0)，得1＋m＝0，m＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，1－01－3×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案](1)x－2y－1＝0(2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标分别为72，1，－12，－2，所以这条直线的方程为y＋21＋2＝x＋1272＋12，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为x136－y138＝1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为y＋43＋4＝x－12－1，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为x117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3](2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．[自主解答]法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．由题意知x＋xB2＝3，y＋yB2＝0，则点B(6－x，－y)，解方程组2x－y－2＝0，6－x＋－y＋3＝0，得x＝113，y＝163，则k＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由y＝kx－3，2x－y－2＝0，解得xA＝3k－2k－2，yA＝4kk－2.由y＝kx－3，x＋y＋3＝0，解得xB＝3k－3k＋1，yB＝－6kk＋1.∵P(3,0)是线段AB的中点，∴yA＋yB＝0，即4kk－2＋－6kk＋1＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则xA＝1，xB＝－3，此时xA＋xB2＝1－32≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k0)，A2－1k，0，B(0，1－2k)，△AOB的面积S＝12(1－2k)2－1k＝124＋－4k＋－1k≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵|MA|＝1k2＋1，|MB|＝4＋4k2，∴|MA|·|MB|＝1k2＋1·4＋4k2＝2k2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k2＝1k2，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例](2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则－a＋1＞0，a－2≤0，或－a＋1＝0，a－2≤0.∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－43x；②当不过原点时，设直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－43x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2)D．(－1，－2)解析：选A因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是()A．2x＋11y＋38＝0B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0D．2x－11y＋16＝0解析：选B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C|22＋112，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)解析：选D∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab＞0，bc＜0B．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0D．ab＜0，bc＜0解析：选A由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb，易知－ab＜0且－cb＞0，故ab＞0，bc＜0.5．将直线y＝3x绕