高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结

用定义或判定定理证明线面垂直【例1】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE；【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，故AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AB⊥PD.因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等．【变式练习1】如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.1111111111111111//12.EFACABEFBCACBCEFECEFAEAECEEAEAECCEAECEFAECACMEMEACEMAAAECEEMACAAACEFAECAAAECAAEFEFBC因为，分别为和的中点，所以，因为，所以，，又＝，平面，平面，所以平面取的中点，连结，又因为为的中点，所以，＝，所以，所以，又因为平面，平面，所以【证明，又】，所以1111.AABCACBCCAAABC，又＝，所以平面用线面垂直的性质定理证明线线垂直111111920136.ABCABCACBCBCACCMCCABAM已知在直三棱柱－中，＝，＝，＝，，＝，是的中点，求证：【例】【证明】如图，∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1.而AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AM.连结A1C.可以证明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C.而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.证明线线垂直常构造一个平面经过一条直线与另一条直线垂直，从而达到由线面垂直证明线线垂直的目的．111111111626012?ABCDABCDAAABCDABABCPBBDPACACBDOBPPBPODAC【变式练如图，直四棱柱－中，侧棱＝，底面是菱形，＝，＝，为侧棱上的动点．求证：；设＝，求当等于多少时，平面习2】11111111111...1..ABCDACBDBDDDABCDACDDBDDDDACBBDDDPBBDDDPAC证明：因为为菱形，所以连结因为底面，所以又＝，所以平面因为平所以析，】面【解11111111111.60236322362902BPPODACPBDOABCDOACBDPAPCOAOCPOACABCABABCBODODDOBDDBBDOBPDDOOBPDODPOBPODODOACO当＝时，平面证明：连结，因为底面是菱形，所以是，的中点，因为＝，＝，所以，又因为＝，＝，所以是等边三角形，＝＝，在矩形中，有，＝＝，所以∽，所以＋＝，所以，又＝，所以1.PODAC平面通过计算证明线线垂直【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心．求证：OE⊥平面ACD1.11111122112212222211111111111....623232..AECEDODBDEDBaAECEAOOCOEACDBDODDDOaOEBEOBaDEDBBEaDOOEDEDOOEDOACODOACACDOEACD如图，连结，，，，设正方体的棱长为易证＝又因为＝，所以在正方体中易求出：＝＝，＝＝，＝＝，所以＋＝，所以因为＝，，平面，所以平面【证明】要证线面垂直可找线线垂直，这是几何中证明线面垂直时常用的方法，在证明线线垂直时，要注意从数量关系方面找垂直，如利用勾股定理等．【变式练习3】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.求证：AC⊥平面BB1C1C.111111111111.902222452...ABCDABCDBBABCDBBACBADADCABADCDACCABBCBCACBBBCBBBBCBBCCACBBCC直棱柱－中，平面，所以又因为＝＝，＝＝＝，所以＝，＝，所以＝，所以而＝，，平面所以平面【证明】1.有下列四个命题：①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面互相垂直；②若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平面，则另一条直线与该平面平行；③若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线．其中错误的命题是_______________.①②④2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，M是AD1上任意一点，M到平面BCB1的距离是_______.23.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是_______.①④4.2.12.ABCDEBACDCABCEBABCFBCABACDCABEAFBCDE在几何体中，＝，平面，平面，是的中点，＝求证：平面；平面12//.//...2.DCABCEBABCDCEBDCABEEBABEDCABEDCABCDCAFBACABACAFBCBCDCCAFBCDE因为平面，平面，所以又因为平面，平面，所以平面因为平面，所以又因为＝，且＝，所以而＝，所以平面【证明】5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.【证明】(1)连结AC，取其中点O，连结NO、MO，并延长MO交CD于R.因为N为PC的中点，所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD.又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为AC的中点，所以MO⊥CD.而MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.(2)连结NR，则∠NRM＝∠PDA＝45°.又O为MR的中点，且NO⊥MR，所以△MNR为等腰三角形且∠NRM＝∠NMR＝45°，所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR.又MN⊥CD，且NR∩CD＝R，所以MN⊥平面PCD.1．在线面垂直的定义中，一定要弄清楚“任意”与“无数”这两个术语内涵的差异，后者存在于前者中．“任意”的理解最终转化为“两条相交直线”，证明时此条件不可缺少．2////.ababbaabaaa．判定线面垂直的方法，主要有五种：①利用定义；②利用判定定理；③结合线线平行：若，，则；④面面垂直的性质：若，＝，，，则；⑤面面平行的性质：若，，则3．面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即：①两个平面垂直；②其中一个平面内的直线；③垂直于交线．所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍．1．已知四棱锥P－ABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取值范围为____________．22222223491692520372522575.POABCDABPBPOhOBxPAhxxxxxxPA由题意知，平面，＝，＝，设＝，＝，则＝【解析】＋－＝－－＋＝－，又因为，所以－，所以(75)，答案：【解析】①中n可能在α内；②n与m可以垂直；由线面垂直与面面垂直知③④是正确的.答案：③④选题感悟：本题呈现的是空间中的线线、线面、面面之间的位置关系，能有效的考查考生的空间想象能力和推理能力．3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2.(1)求四棱锥P－ABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(3)求证：CE∥平面PAB.Rt16032.Rt260234.11··22115132233.222155323.3231ABCDABCABBACBCACACDACCADCDADSABBCACCDV在中，＝，＝，所以＝，＝在中，＝，＝，所以＝，＝所以＝＋＝＝则＝＝【解析】(2)证明：因为PA＝CA，F为PC的中点，所以AF⊥PC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.所以CD⊥PC.因为E为PD中点，F为PC中点，所以EF∥CD.则EF⊥PC.因为AF∩EF＝F，所以PC⊥平面AEF..//.//.Rt60260.60//.//3.//.//.ADMEMCMEMPAEMPABPAPABEMPABACDCADACAMACMBACMCABMCPABABPABMCPABEMMCMEMCPABECEMCECPAB证明：取中点，连结，则因为平面，平面，所以平面在中，＝，＝＝，所以＝而＝，所以因为平面，平面，所以平面因为＝，所以平面平面因为平面，所以平面