初中数学动点问题例题集

1动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t秒，∴313BPCQ厘米，∵10AB厘米，点D为AB的中点，∴5BD厘米．又∵厘米，∴835PC厘米8PCBCBPBC，，∴PCBD．又∵ABAC，∴BC，∴BPDCQP△≌△．·············································································（4分）②∵PQvv，∴BPCQ，又∵BPDCQP△≌△，BC，则45BPPCCQBD，，∴点P，点Q运动的时间433BPt秒，∴515443QCQvt厘米/秒．··································································（7分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104xx，AQCDBP2解得803x秒．∴点P共运动了803803厘米．∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········································（12分）2、直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6）···············1分（2）86OAOB，10AB点Q由O到A的时间是881（秒）点P的速度是61028（单位/秒）·1分当P在线段OB上运动（或03t≤≤）时，2OQtOPt，2St··········································································································1分当P在线段BA上运动（或38t≤）时，6102162OQtAPtt，,如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD，······························1分21324255SOQPDtt·······································································1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P，····························································································1分xAOQPBy312382412241224555555IMM，，，，，····················································3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴PE=332.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴3342,=45AOPEABPBPB即，4∴315,2PB∴31582POBOPB，∴315(0,8)2P，∴31582k.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－3152－8)，∴k=－3152－8，∴当k=3152－8或k=－3152－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：55在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分ACBPQED图166PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接．．写出t的值．解：（1）1，85；（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴3APt．由△AQF∽△ABC，22534BC，得45QFt．∴45QFt．∴14(3)25Stt，即22655Stt．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得AQAPACAB，即335tt．解得98t．②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP∽△ABC，得AQAPABAC，即353tt．解得158t．（4）52t或4514t．①点P由C向A运动，DE经过点C．连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．PCt，222QCQGCG2234[(5)][4(5)]55tt．由22PCQC，得22234[(5)][4(5)]55ttt，解得52t．②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．ACBPQED图4ACBPQED图5AC(E))BPQD图6GAC(E))BPQD图7G722234(6)[(5)][4(5)]55ttt，4514t】6如图，在RtABC△中，9060ACBB°，°，2BC．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CEAB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为．（1）①当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形.……………………6分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=23.∴AO=12AC=3.……………………8分在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形……………………10分7如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．OECBDAlOCBA（备用图）ADCBMN8解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴3KHAD．················································································1分在RtABK△中，2sin454242AKAB．2cos454242BKAB··························································2分在RtCDH△中，由勾股定理得，22543HC∴43310BCBKKHHC·················································3分（2）如图②，过D作DGAB∥交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MNAB∥∴MNDG∥∴3BGAD∴1037GC·············································································4分由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，．∵DGMN∥∴NMCDGC∠∠又CC∠∠∴MNCGDC△∽△∴CNCMCDCG···················································································5分即10257tt解得，5017t····················································································6分（3）分三种情况讨论：①当NCMC时，如图③，即102tt∴103t··························································································7分（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMNADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE9②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN△中，5c