对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

1对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题（一）冲量定理法（二）傅立叶级数法齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题（一）方程和边界条件同时齐次化非齐次方程的求解思路•用分解原理得出对应的齐次问题•解出齐次问题•求出任意非齐次特解•叠加成非齐次解方法一冲量定理法前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加.2000(,)0,0(),()ttxxxxltttuaufxtuuuxux试设12uuu22211221111,(,0)(,0)(),(),(0,)0,(,)0uuatxuxuxxxtutult，22222222222,,(,0)(,0)0,0,(0,)0,(,)0uuafxttxuxuxtutult.物理意义：在时间0—t内，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。2222220,0,(,),0,0tttxxlattxfxd222220,0,(,),0,0tttxxlvvattxvvfxvv相应的，我们也可以把位移(,)uxt也表示为20(,)(,;)dtuxtvxt，则(,;)vxtd就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，(,,)vxt就是定解问题222220,0,(,),0,0tttxxlattxfxd222220,0,(,),0,0tttxxlvvattxvvfxvv的解.非齐次项只存在于时刻，其全部效果只是使得弦在时刻获得一个瞬时速度.那么由偏微分方程的积分22000222000(,)()vvdtadtfxtdtx推导出0(,,)(,)tvxtfxt令1tt则定解问题就可以写成这种形式（0t简写成t）111222221000,0,(,),0,0tttxxlvvattxvvfxvv在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项内，又算入初速度内！总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的3求解，最后将其叠加111(,)()sinsinnnnnanvxtBtxll1(,)()sinsinnnnnanvxtBtxll其中02()(,)sindlnnBfnal2001(,)(,;)()sin()sindttnnnanuxtvxtdBtxll11(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnnananuxtCtDtxnlll12uuu例题1求定解问题222022sinuuaAttx，0xl，0t，00xu，0xlu，0t，00tu，00tut，0xl,其中，a、0A、均为已知常数解：用冲量定理法进行求解，此时的(,;)vxt应当满足定解问题22222vvatx，0xl，t，00xv，0xlv，t，0tv，0sintvAt，0xl，即可得出定解问题的一般解1(,;)sin()cos()sinnnnnnnvxtCatDatxlll4根据题意条件可得0nD，002022sinsin1(1)sin()lnnAlnCAxdxnalna所以，综上可得0(,)(,;)tuxtvxtd02200412121sinsinsin()(21)tnAlnnxatdanll202222041121sin(21)(21)()nAlnxanlnal21(21)sin()sinnnalatl方法二：傅立叶级数法前提条件：齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件中心思想：首先要想办法找到一组本证函数(),1,2,3,nXxn，如果这组函数是完备的，那么就可以将(,)uxt以及原非齐次方程的非齐次项(,)fxt，都按照本征函数展开简单选法：对本征函数的选法最简单的是，选择(),1,2,3,nXxn为相应齐次定解问题的本征函数，即要满足由齐次偏微分方程和齐次边界条件.分离变量法得出的结果提示:把所求的解本身展开为傅里叶级数(,)()()nnnuxtTtXx基本函数族Xn(x)为该定解问题的齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数注意：傅里叶系数()nTt不是常数，是时间t的函数。5设(,),,uxtVxtWxt2222222222(,),0,0,(0,)(,)0,0,(0,)(,)0,(,0)(,0)(,0)0,0,(,0)(),()VVWWafxtxltatxtxVtVlttWtWltVxWxVxxlWxxxtt(,)Wxt的解可以直接由分离变量法求得1(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnnananWxtCtDtxnlll由于()nVt是一元函数，满足常微分方程，比求偏微分方程简单，因此只需设法求出()nVt即可.22222(,),0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(,0)0,0,VVafxtxlttxVtVlttVxVxxlt解：①相应的齐次问题的固有函数()sinnnXxxl②设1()sinnnnVvtxl○3代入定解问题中222211()sin()sin(,)nnnnnnnvtxavtxfxtlll222211()sin()sinnnnnnnnavtxftxlll1(,)()sinnnnfxtftxl02()(,)sindlnnftfxtxxll再根据本征函数的正交性，就可以得到()nVt所满足的常微分方程62222()()()0nnnnvtavtftl将代入初始条件1(,0)(0)sin0nnnVxvxl1(,0)(0)sin0nnVxnvxtl根据本征函数的正交性，得(0)0nv(0)0nv运用求解非齐次常微分方程的常数变易法解出()nvt.例题1求下列定解问题222sin0,0(0,)(,)0,0(,0)0,0uuatxlttxutulttxxuxxl解：先解对应的齐次问题2220,0(0,)(,)0,0(,0)0,0uuaxlttxutulttxxuxxl设(,)()()uxtXxTt代入2TXaTX令2TXaTX0XX，20TaT代入边界条件00(0)0,()0XXxlXXl7当20xxXAeBe0AB0X当0XAxB0XB当20sincosXAxBx22,1,2,3,nnnnlcos,1,2,3,nnnXBxnl222sin0,0(0,)(,)0,0(,0)0,0uuatxlttxutulttxxuxxlcos,0,1,2,3,nnnXBxnl0()cosnnnuvtxl22220()()cossinnnnnnvtavtxtll0(,0)(0)cos0nnnuxvxl(0)0nv当0n0()sinvtt01()cosvttC01()1cosvtt当0n82222()()0nnnvtavtl2222()natlnvtCe()0nvt得11cosut方法三：方程和边界条件同时齐次化基本思路：根据叠加原理，非齐次方程的通解可分解为齐次方程的解与非齐次方程的特解之和。将偏微分方程和边界条件同时齐次化。(,)(,)(,)uxtvxtxt，关键注意点：在处理非齐次方程变齐次化的同时，保证原有方程的齐次边界条件不变。解方程求得的特解(,)vxt.满足适用于形式比较简单的方程(,)fxt解：通常，首先求出原非齐次方程的一个特解(,)vxt22222(,)uuafxttx.试设(,)(,)(,)uxtvxtxt，则(,)xt便是对应齐次偏微分方程的解,即222220atx为便于用分离变量法求解，让(,)xt满足下列条件0(,)0xxt,(,)0xlxt.所以，我们要寻求的特解(,)vxt还应满足齐次边界条件,0(,)0xvxt,(,)0xlvxt。一旦求得了这样的特解，就可以求出(,)xt的一般解91(,)(sincos)sinnnnnnnxtCatDatxlll，所以1(,)(,)(sincos)sinnnnnnnuxtvxtCatDatxlll，代入初始条件，01sin(,)ntnnDxvxtl，利用本证函数的正交归一性，定出叠加系数002(,)sinlnxvxtnCxdxnatl，02(,0)sinlnnDvxxdxll.这种解法便是方程和边界条件同时齐次化.下面通过例题1来应用一下这种求解非齐次偏微分方程的方法例题3求定解问题22222sinuuPtatx，0xl，0t，00xu，0xlu，0t，00tu，00tut，0xl，其中a，0A及均为已知常数.解：设(,)(,)(,)uxtvxtxt，根据题意，将齐次化函数(,)vxt化为(,)()sinvxtfxt.使得(,)vxt满足非齐次方程及齐次边界条件，22222sinvvPtatx，0xl0t，1000xv，0xlv，0t，也就是选择()fx，使得22''()()fxafxP，(0)0f，()0fl.则这个非齐次常微分方程的通解为2()sincosPfxMxNxaa.代入齐次边界条件可以得出2PN，2tan2PlMa.于是2()1costansin2Plfxxxaaa2cos(())21cos()2lxaPla.这样就能导出(,)xt所满足的定解问题，22222atx，0xl，0t，00,x0xl，0t00t，0()tfxt，0xl，它的一般解为1(,)sincossinnnnnnnxtCatDatxlll，利用上面的初始条件就可以定出0nD，02()sinlnnCfxxdxnal11可以看出，只有当0n时，nC才不为0，