MC方法2

确定性问题的MonteCarlo方法求解–定积分–椭球偏微分方程–线性代数方程组–线性积分方程–非线性方程组积分计算badxxgI)(条件：1.g(x)=02.1)(dxxg则I是一个概率积分，I=Pr(a=b)MonteCarlo求解步骤1.产生服从分布g(x)的随机变量xi2.检查xi是否落入积分区域。a=xib3.计算落入该区域的概率投点法011Gy=g(x)随机点（，）计算落入G的概率平均值法任选一个有简便办法可以进行抽样的概率密度函数f(x),是其满足下列条件：(1)f(x)0,当g(x)0时(axb)(2)badxxgI)(1)(dxxf如果记0)(,0,0)(,)()()(*xfxfxfxgxgbadxxfxgI)()(*NiixgNII1)(*1如果a、b为有限值，f(x)可取作为均匀分布其他,0,1)(bxaabxfdxabxgabIba1)()(具体试验步骤a)产生[a,b]上的均匀分布随机变量xi(I=1,2,…,N);b)计算均值IxgNabINii1)(1dbxaIex1)(xexg其他，当0-1sbxaabXf1*exabxgNixieabNII111例1求积分值积分函数如果取一维平均分布如果，在区域[a,b]上进行N次均匀抽样xi，则积分值近似为则采用均匀分布抽样的方法叫做简单抽样(Simplesampling)简单抽样重要抽样xxg(x)g(x)图.简单抽样和重要抽样重要抽样方法就是，以一个权重函数w(x)为分布密度函数，抽取符合该分布的随机变量Xi，适当地选取权重函数w(X)，使之与原积分函数变化形势相近，则)()(iiXwXg近似为一常量，则该计算具有很高的精度。2xeg(x)2x1exg2x*N1ii2x-2x1-eN1IIi例2求积分值积分函数选用该函数的级数展开式1-x/2+x2/2-x3/6+的一级近似1-x/2作为权重函数w(x)。如果，在区域[a,b]上进行N次以一个权重函数w(x)为分布密度函数抽样xi，则积分值近似为dxeIba2x椭圆微分方程第一边界值微分方程及其边界条件0),,(321232222212xxxfxuxuxu差分方程及其边界条件迭代法：所有网格的解计算机存储单元效率低MC方法叶片QpDPPqPu),()(Poisson方程：QQfu),()Q(边界条件：DDPPqhPuPuiijiji),(4)(41)(412差分方程：QQfu),()Q(边界条件：PiPi1Pi2Pi4Pi3MC方法：随机游动设经过ni个内节点P到达边界Q，则该次游动的随机变量取为：)()(402QfPqhinii＝)(11PuNNj＝MonteCarlo方法求解椭圆偏微分方程过程将问题离散化，微分方程转化为差分方程；离散空间建立随机行走模型，选取与随机行走路经有关的随机变量，使该随机变量的期望值等于所求微分方程在随机行走出发点的解；从所求点出发进行随机行走试验，获得随机变量集；计算随机变量的平均值，获得出发点处的解。D连续MonteCarlo解法在区域D中取随机点PPP1P2P3Q以P为中心做不超出D的最大内接球（圆）S（P）在S（P）上取随机点P1重复上述过程，直至所取随机点落在边界点Q的邻域内，游动终止。取边界值f(Q)为随机变量取值。N次游动后，求算术平均。MC在随机问题中的应用屏蔽计算核临界安全计算随机服务系统信号检测系统模拟稀薄气体绕流计算序贯截尾寿命试验屏蔽计算穿透概率:粒子穿透屏蔽层的份额用MC方法直接模拟N个粒子在屏蔽层中的历史,如其中n个粒子穿过屏蔽层，则穿过频率n/N便是穿透率的无偏估计。计算粒子的历史终止前的碰撞次数、碰撞前后粒子的位置、能量和运动方向。判断粒子是穿透屏蔽层、被吸收还是能量小于最小值。方法：直接、加权、统计估计、指数变换等随机服务系统共性：–输入过程。顾客的到来。–排队规则。–服务机构。目的：–提供最完善的服务–成本最低随机行走与自回避行走随机行走不退行随机行走自回避随机行走Markov链每次抽样试验不是完全独立的，而是与前一次或者与以前的所有抽样结果具有一定的概率关系对于任何一个状态只与前一个状态有关，而与初始状态无关，该状态序列为Markov链无论初始状态如何，最终状态（足够多的时间步长次数）会遵从某一个惟一的分布，该分布叫做极限分布正则系综来说，温度一定，系统的状态相应与热平衡分布，即Markov链的极限概率与波尔兹曼因子成正比系统各状态出现的概率取决于系统的温度和哈密顿量，这是MetropolisMonteCarlo方法的核心。重要性抽样方法不是彼此独立无关抽样，而是建立一个Markov过程。过程的每一个状态xi+1由前一个状态xi通过一个适当的跃迁概率W得到。选择W可以使该过程产生的状态的分布函数P(xi)趋于平衡分布]/)(exp[1)(kTxZxPiieqH0H0;HH,1),/exp(1)(ssikTxW其中，s是任意因子，可以取1。在MC动力学解释时，s为蒙特卡罗时间单位，W为单位时间的跃迁概率。MetropolisMonteCarlo方法的具体步骤建立体系状态与能量的关系模型；由初始状态出发，通过简单抽样设立新状态；根据新旧状态的哈密顿量，判断新状态的舍选。判断舍选有以下三种情况：H(x2)H(x1)，接受新状态，并在该状态基础上，进一步进行步骤(2)；H(x2)=H(x1)，不是直接否决，而是进一步判断。抽取一个随机数=exp(H/kT),取；exp(H/kT),舍。MetropolisMC方法热平衡条件下产生系统状态的重要性抽样方法。化学组成一定时，概率分布是系统哈密顿的函数。否则，是化学位的函数。如果系统的粒子数为M，每次新状态的抽样均随机抽选一个粒子，并不是每个粒子逐一地进行。只要伪随机数的质量足够高，各粒子被抽样的概率是均等的。当抽样次数达到系统粒子总数M时，该过程叫做一个MonteCarlostep(MCS)。MonteCarlostep(MCS)如果系统的粒子数为M，每次新状态的抽样均随机抽选一个粒子，并不是每个粒子逐一地进行。只要伪随机数的质量足够高，各粒子被抽样的概率是均等的。当抽样次数达到系统粒子总数M时，该过程叫做一个MCS。MonteCarlo方法的能量模型建立适当的系统组态与能量的关系模型，通过随机选取系统的新组态后，计算系统组态变化前后的能量变化，以此判断新组态的舍选。该能量关系与分子动力学的势函数不同。势函数是粒子间相对距离与能量的关系，而MonteCarlo方法中的组态与能量的关系只是粒子状态的函数有时该关系只是一个定性的描述，能量的绝对值不重要，只要能够定性描述两个组态能量差。自旋MC方法Ising模型Heisenberg模型晶格气体(LatticeGas)模型Potts模型Ising模型系统内能可以由规则节点上的原子或分子之间的对势的和求得。Ising模型是由一套离散的相互作用和与外磁场作用的自旋自由度构成的。1,,IsingiiijjiiSSBSSJHJ:有效相互能B：热力学场强，如磁场Heisenberg模型Ising模型只考虑自旋矢量与磁场平行和反平行Heisenberg模型1,3221133,,||IsingiixjixxxxxjixSSBSSSSJSSJijijijiHx:坐标方向晶格气体(LatticeGas)模型正规格子可以是空位1,0,int,intgasiijittttJijiHJint:最邻近相互作用能int：化学位Potts模型q-StatePottsSpinModel一般化变量S表示q种状态中的一种状态值。qSJijiSSii,...,2,1),1(,intPottsH格子类型本章小结MonteCarlo方法其本质是解决问题的一种数学方法。将所要求解的问题建立一个概率模型，然后通过反复进行随机抽样试验，并对抽样结果进行统计分析，最终得到计算结果。MC模拟的手法虽然是随机的，但是大量的随机抽样结果的统计特征参量是确定的。因此，MC方法不仅能够直接模拟随机过程，还能通过建立一个概率统计模型间接地求解确定性的问题。MC方法可以通过简单的均匀分布的随机抽样来实现，即简单抽样。也可以根据实际问题按照某种特定的分布进行随机抽样来实现，即重要抽样。重要抽样能够提高计算效率和精度。建立在较简单的准则之上通过随机抽样来实现目标，而并不对实现过程进行严格的模拟，即只考虑状态，不介意过程。计算方法和程序结构十分简单，受复杂条件的限制较小，适应性强。MC方法的收敛速度及精度与问题的维数无关，所以该方法的特长是求解多维问题，但是，MC方法的计算效率较低。MetropolisMC方法建立Markov过程将系统的各状态建立一种联系，而不是完全独立的，每一个状态都是由前一个状态通过一个适当的跃迁概率得到的。不仅能够使体系向能量降低的方向变化，还可以以适当的概率使体系能量增高，从而克服势垒使体系向能量更低处发展，而不是停留在能量局域极小值处。MC能量模型与MD的势函数有很大的区别，MC能量模型只考虑状态变化导致的能量变化，而MD势函数能够描述粒子位置与受力大小的关系，进而能够计算粒子的运动方向和速度。