浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用

毕业论文学生姓名陈碧玉学号161001049学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用指导教师王爱峰副教授/博士（姓名）（专业技术职称/学位）2014年05月淮阴师范学院毕业论文2摘要:数形结合是中学数学中一种十分常见且重要的数学思想之一.利用数形之间的相互转化，可以化繁为简、化难为易、化抽象为具体，从而达到简洁明了的解题效果.本文主要探讨了数形结合思想在集合、函数、方程、几何、三角函数、线性规划、复数问题中的应用.关键词:数形结合,线性规划，复数，应用淮阴师范学院毕业论文3Abstract:Thecombinationofnumberandshapeisoneofaverycommonandimportantmathematicalthoughtinmiddleschoolmathematics.Usingmutualconversionbetweennumberandform,wecanmakehardproblemssimpleandeasyandturntheabstracttotheconcrete.Inthispaper,wemainlydiscussthecombinationofnumberandshapeincollection、functions、equations、geometry、trigonometricfunctions、linearprogrammingandcomplexnumber.Keywords:thecombinationofnumberandshape,linearprogramming,complexnumber,application淮阴师范学院毕业论文4目录1前言………………………………………………………………………………………………………42数形结合思想在中学数学中的应用………………………………………………………52.1数形结合思想在集合中的应用……………………………………………………………52.2数形结合思想在函数中的应用……………………………………………………………62.3数形结合思想在方程与不等式中的应用……………………………………………112.4数形结合思想在三角函数中的应用…………………………………………………132.5数形结合思想在中学几何中的应用…………………………………………………142.6数形结合思想在线性规划中的应用…………………………………………………152.7数形结合思想在复数中的应用…………………………………………………………16结论……………………………………………………………………………………………………18参考文献…………………………………………………………………………………………………19致谢………………………………………………………………………………………………………20淮阴师范学院毕业论文51前言数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，它是对数学事实和数学理论经过概括后产生的本质认识.基本数学思想则是应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想.中学阶段的基本数学思想包括：分类整合思想、归纳推理思想、数形结合思想、函数思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想、类比思想、抽样统计思想等.在中学阶段的数学教学中时时刻刻都渗透着这些基本数学思想，如果教师能够将这些基本的思想真正落实到课堂学习中，那么它就能够发展学生学习数学的能力.本文主要探讨了这些基本数学思想中的数形结合思想，它是一种十分重要且常见的思想方法之一，贯穿于整个中学数学的教学过程.我国著名数学家华罗庚曾经说过：数与形，本是相依倚，焉能分作两边飞；数无形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离]1[.这就说明数与形是紧密联系、不可分割的.而数形结合主要是指数学语言与几何图形之间一一对应的关系.数形结合思想的实质就是通过数学语言与几何图形之间的相互转化，把抽象的数量通过抽象化的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题;或者是把关于几何图形的问题，用数量或方程等来表示，从它们的结构研究几何图形的性质和特征]2[.数形结合思想可以使某些抽象的不易于理解的数学问题生动直观，能够变抽象问题为形象问题，便于学生把握数学问题的本质.此外，借助数形结合的方法使得很多抽象的问题迎刃而解.这种思想的应用非但可以培养学生的自己观察思考、综合运用各种知识的能力，而且还培养了学生的自主创新的能力，增强了学生发散性思维的能力.数形结合思想作为一种基本的数学思想，其应用一般可以分为以下两种情形：第一种情形就是“以数解形”，而第二种情形则是“以形助数”.“以数解形”就是将“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数，函数知识进行讨论，它是将技巧性极强的的推理论证转化为可操作的代数运算，起到了化难为易的作用.“以形助数”顾名思义就是将“数”的问题转化为图形的问题来解决，直观生动，便于理解和解题.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一是明白概念和运算的几何意义，对于题目中的的条件和结论既分析其代数意义又要分析其几何意义；第二是恰当设淮阴师范学院毕业论文6立参数、合理运用参数，建立正确关系，做好数与形的相互转化；第三是正确确定参数的取值范围.下面我将具体从这几个方面来探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用.(1)在集合问题中的应用.(2)在函数问题中的应用.(3)在方程、不等式问题中的应用.(4)在三角函数问题中的应用.(5)在几何问题中的应用.(6)在线性规划问题中的应用.(7)在复数问题中的应用.通过对这些例题的分析讲解充分展现数形结合思想在中学数学解题中的特点，从而将数形结合思想运用到实际教学中.2数形结合思想的应用2.1数形结合思想在集合中的应用在集合运算问题中，当所给问题的数量比较复杂，不好找线索时，我们常常要借助数轴、韦恩图来处理集合中的交、并、补等运算，利用直观的图形，从而使问题更加简化，运算更加快捷.例1已知集合}043|{2xxxA,01xxB，则BA等于多少?解如图1.集合A的解集为}04|{xxA,集合B的解集为}0{xxB，所以}10|{xxBA.图1例2]3[某班有48个学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化的人数分别为，15,25,28同时参加数、理小组有8人，同时参加理、化的有6人，同时参加数、化的有7人，问同时参加数、理、化的有多少人?分析本题中，我们可以用CBA、、三个圆分别表示参加数、理、化的人（如图2），则三个圆的公共部分就是表示同时参加数、理、化三个活动小组的人数.假设用n来表示432101淮阴师范学院毕业论文7集合中的元素，则有48)()()()()()()(CBAnCBnCAnBAnCnBnAn，即48)(768152528CBAn，所以1)(CBAn，因而同时参加数、理、化活动小组的有1人.图22.2数形结合思想在函数中的应用利用函数图像来研究函数的性质是一般常见的数学方法之一.函数图像的几何特征和数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征和方法.利用函数图像的直观性来讨论函数的最值问题，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考察转化能力，逻辑思维能力，是函数教学中的重要内容之一.例3若函数xf是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且0)2(f，求0)(xf的x的取值范围.解因为xf是定义在R上的偶函数，所以)(xfy关于y轴对称，又因为)(xfy在)0,(上为减函数，且0)2()2(ff，因此可以作出图3,所以由图像性质可知0)(xf，数理化淮阴师范学院毕业论文8所以)2,2(x.图3例4求函数84122xxxy的最小值.分析观察84122xxxy的特点，直接从代数方面求解，学生很难解答.本题中，我们需要借助数形结合的思想，以此思想为转化手段，让学生巧妙地使用两点间的距离公式.解222222)20()2()10()0(841xxxxx.令)1,0(A，)2,2(B，)0,(xP，则问题转化为在x轴上求一点P，使PBPA有最小值.图40xyCABPxy202淮阴师范学院毕业论文9如图4所示，由于AB在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点)1,0(C，因此13)12()02(22minCBPBPA.例5函数32axxxf，当]2,2[x时，axf)(恒成立，求a的取值范围.分析本题是二次函数问题中典型的“轴变区间定”问题.根据函数解析式画出函数图像，分情况讨论，思路清晰，不易出错.解由解析式知，函数的对称轴为2ax.1当22a，即4a时(图5)，xf在]2,2[上单调递增，所以当2x时，有72)2()(minafxf，依题意得aa72，即37a，所以a不存在.图62当222a，即44a时（图6），xf在2,2a上单调递减，在2,2a上单调递增.所以当2ax时，有3)(2axxxf220yx2ax淮阴师范学院毕业论文104322minaafxf.依题意得aa432,即26a,所以24a.图63当22a，即4a时（图7），xf在]2,2[上单调递增,所以当2x时，有72)2()(minafxf.依题意得aa72,即7a,所以47a.yx2203)(2axxxf2ax淮阴师范学院毕业论文11图7综上所述]2,7[a.例6在平面直角坐标系xOy中，若曲线xxxxy11与直线1kxy有四个公共点,求实数k的取值范围.解由题意得，xxxxy11是偶函数，且,1,2,10,2,01,2,1,2xxxxxxxxy作出曲线的图像（如图8）yx22032axxxf2ax淮阴师范学院毕业论文12图8当0k时，直线1kxy与曲线xxxxy11有四个公共点；当0k时，要使它们有四个公共点，则需1kxy与12xxy有一个公共点，此时xkx21，即方程022xkx有两个相等的实数解，从而081k，故81k；当0k时，根据对称性可得81k；从而满足条件的k的取值范围是81,0,81.2.3数形结合思想在方程与不等式中的应用很多情况下，我们在处理一些不能使用常规方法来解答的复杂方程时，通常把方程根的问题看作两个函数的交点问题，通过作图就可以很好地解答出来.处理不等式的问题时，根据题目的条件和结论，画出图形，将图形和联系题目中的相关函数相互结合，重点分析其几何意义，揭示图形所蕴含的数量关系，借助图形探求其解题思路.例7]4[设方程kx12，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.yx0221kxy淮阴师范学院毕业论文13解可以将题设问题转化为确定两个函数121xy与ky2图像交点个数的情况的问题（图9）.由于函数ky2一直表示所有平行于x轴的直线，而分段函数121xy可以先表示为函数121xy，再画出121xy的图像，进一步画出函数121xy的图像，从而由图像可以直接看出图9(1)当0k时，21,yy没有交点，这时原方程无解；(2)当0k时，21,yy有两个交点，原方程有两个不同的解，分别是1x与1x；(3)当10k时，21,yy有四个不同的交点，原方程有四个不同解；(4)当1k时，21,yy有三个交点，原方程有三个不同解；(5)当1k时