第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第七节 离散型随机变量及其分布列(理)..

第七节离散型随机变量及其分布列(理)第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第十章概率（文）主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测主干回顾·夯实基础主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为___________，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为________________．随机变量离散型随机变量主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测二、离散型随机变量的分布列及其性质1．定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测称为离散型随机变量X的__________________，简称为X的________________________，有时为了表达简单，也用等式_______________________________表示X的分布列．2．性质(1)__________________；(2)__________.概率分布列分布列P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，npi≥0(i＝1,2，…，n)∑ni＝1pi＝1主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测三、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为其中p＝______称为成功概率．X01P_________1－ppP(X＝1)主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件X＝k发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝__________，且_____________________________，称分布列为超几何分布列.min{M，n}n≤N，M≤N，n，M，N∈N*主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测X01…mP______________…_______C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的取值具有随机性，即在试验前不能判断随机变量取什么值．()(2)随机变量的取值又具有统计规律性，即在大量重复试验中能按一定的统计规律取实数值．()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(4)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测(5)利用分布列的性质可检验分布列是否正确，同时也给出了在分布列中求概率的一种方法．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√(5)√主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i3a(i＝1,2)，则P(X＝2)＝()A.19B.16C.23D.14解析：选C由条件知13a＋23a＝1，解得a＝1，故P(X＝2)＝23×1＝23.故选C.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝5)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解析：选B由于从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝5，即旧球的个数增加了2个，所以取出的3个球必为1个旧球、2个新球，故P(X＝5)＝C13C29C312＝2755.故选B.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.解析：10由题意得1n×3＝0.3，解得n＝10.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：则a＝________，b＝________，c＝________.X012Pabc解析：11035310a＝P(X＝0)＝C22C25＝110，b＝P(X＝1)＝C12C13C25＝35，c＝P(X＝2)＝C23C25＝310.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测考点技法·全面突破主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测离散型随机变量分布列的性质(☆☆☆)1．已知随机变量的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P32≤X≤92＝()A.316B.116C.716D.132主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解析：选CP32≤X≤92＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝122＋123＋124＝716.故选C.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则q＝________.ξ－101P1－2qq212解析：1－22由分布列的性质得1－2q≥0q2≥012＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22，或q＝1＋22(舍去)．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测3．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．ξ－101Pabc解析：23－13≤d≤13∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，∴－13≤d≤13，此即为公差d的取值范围．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测1．利用分布列的性质可验证分布列是否正确，同时利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．2．由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测求离散型随机变量的分布列是高考的必考内容之一，从近几年的高考试题看，主要有以下几种类型：题型一根据离散型随机变量的性质求分布列[典例1]已知随机变量ξ的分布列为离散型随机变量分布列的求法(☆☆☆☆☆)ξ－2－10123P112141316112112求η＝12ξ的分布列．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解：由题意知η的取值分别为－1，－12，0，12，1，32，且P(η＝－1)＝P(ξ＝－2)＝112，Pη＝－12＝P(ξ＝－1)＝14，P(η＝0)＝P(ξ＝0)＝13，Pη＝12＝P(ξ＝1)＝112，P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝16，Pη＝32＝P(ξ＝3)＝112，主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测所以随机变量η的分布列为ξ－101P112141316112112－121232主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测【互动探究】在本例中，若将“η＝12ξ”改为“η＝ξ2”，则如何求η的分布列．解：由条件知η的取值为0,1,4,9，P(η＝0)＝P(ξ＝0)＝13，P(η＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝13，P(η＝4)＝P(ξ＝－2)＋P(ξ＝2)＝14，主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测P(η＝9)＝P(ξ＝3)＝112，所以η的分布列为η0149P131314112主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测题型二根据随机变量的取值求分布列[典例2]已知在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让小红从盒子里任取3张卡片，按卡片上的最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字．(1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)求随机变量X的分布列；(3)若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解：(1)设“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意知随机变量X的所有可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C34C310＝130，P(X＝3)＝C12C24C310＋C22C14C310＝215.P(X＝4)＝C12C26C310＋C22C16C310＝310，主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测P(X＝5)＝C12C28C310＋C22C18C310＋C22C18C310＝815，所以X的分布列为X2345P130215310815(3)设“孩子得到奖励”为事件B，则P(B)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝310＋815＝56.即孩子得奖的概率为56.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测1．求解离散型随机变量X的分布列的步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．2．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、排列组合及常见概率模型的应用．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测[典例3](2014·天津高考改编)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．超几何分布(☆☆☆)主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13C27＋C03C37C310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝C04C36C310＝20120＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝60120＝12，主干回顾·夯实