最详细概率统计期末总复习

概率统计复习《概率统计》复习各章比重第一章(20)第二章(16)第三章(14)第四章(14)第五章(2)第六章(14)第七章(10)第八章(10)概率(66)统计(34)题型题量单项选择题(15)填空题(18)计算题(57)证明题(10)各章要点第一章1.概率性质古典概率2.条件概率乘法公式全、贝公式3.事件独立性第二章1.分布函数、分布律、密度函数2.六个常用分布3.一维随机变量的函数的分布第三章2.边缘分布3.随机变量的独立性第四章1.期望方差定义性质2.相关系数相关性3.不相关与独立之间的关系1.联合分布律、分布函数、密度4.二维随机变量的函数的分布三四章第五章1.大数定律2.中心极限定理的应用第六章1.统计量总体样本2.常用“三大分布”定义性质各分布分位点定义及查表五六章第七章1.点估计的两种方法及评价标准2.参数的区间估计（重点：单正态总体）第八章1.假设检验的有关概念2.参数的假设检验（重点：单正态总体）七八章假设检验步骤(三部曲)其中)(VVP根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1在H0为真时,选择合适的统计量V,由H1确给定显著性水平,其对应的拒绝域)()(221VVVV双侧检验)(1VV左边检验定拒绝域形式根据样本值计算,并作出相应的判断.右边检验)(VV三部曲0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域0002()已知0002()未知nXU/0nXtSn0*/000000uuuuuu/2ttnttnttn/2(1)(1)(1)321220220220()未知nnS*2220(1)220220220)()()()(//1111221222221222nnnn或0)(AP例1(1)在古典概型的随机试验中,ØA()√(2)若事件A,B,C,D相互独立,则DA与CB也相互独立.()√事件若事件A1,A2,…,An相互独立,将它们任意分成k组,同一事件不能同时属于两个不同的组,则对每组事件进行求和、积、差、逆等运算所得到的k个事件也相互独立.(3)若事件A与B独立,B与C独立,则事件A与C也相互独立.()事件相互独立不具有传递性.例2小王忘了朋友家电话号码的最后一位数,故只能随意拨最后一个号,则他拨三次可拨通朋友家的概率为.___0.3例3小王忘了朋友家电话号码的最后一位数,他只能随意拨最后一个号,他连拨三次，由乘法公式设iA3,2,1i表示“第i次拨通”)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP1.08198109解例4求第三次才拨通的概率.例5例410件产品中有3件次品,从中任取2件.在所取2件中有一件是次品的条件下,求另一件也是次品的概率.解A“所取2件中至少有一件次品”B“2件都是次品”)()()(APABPABP)()(APBP22310211233710/1.()/8CCCCCC例5(1)是的密度函数则.())(xfX1)(0xf(2)若,则())1(~EX.1,0,1,)(~21yyyfeYyYX√例7(3)设则),(~2NX~X)1,0(N(4)设某产品尺寸服从正态分布,现抽得一容量为9的样本,测得样本均值为1500,样本标准差为14,则总体期望的置信度为0.99的双侧置信区间为(1484.42,1515.58)发生发生BBY,0,1设A,B为随机试验E的两个事件，0P(A)1,0P(B)1,例6证明:若XY=0,则随机变量X,Y相互独立.证由XY=0)()(APXE)()(BPYE而发生发生AAX,0,1令0),(YXCOV)()()(YEXEXYE书例不同时发生同时发生BABAXY,,0,,1事件A,B相互独立)()()(BPAPABP)()(ABPXYE事件X,Y相互独立例7求值YX,ba,独立.使.9/1,9/2ba解XY123121/3ab1/61/91/18ipjp9/1aip3/191913131aba解得:解)1,0(~NYXZ由于相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量，故1)()(0)(2ZEZDZE/2)2/()(22dzezZEz22)]([)()()(ZEZEZDYXD./21例8设随机变量X、Y相互独立,且都服.求)(YXD)2/1,0(N从解设装m袋水泥,第i袋的重量为Xi，则例9卡车装运水泥,设每袋重量(gk)X服从.)5.2,50(2N问至多装多少袋水泥,使总重量超过2000的概率不大于0.05.250,2.51,2,,iXNim装m袋水泥的总重量为Y，显然1miiYX250,2.5Nmm(2000)1(2000)PYPY0.05(2000)0.95PY502000500.952.52.5YmmPmm2000501.652.5mm504.12520000mm6.376.28m39.4m所以至多装39袋水泥.例10某大卖场某种商品价格波动为随机变量.设第i天(较前一天)的价格变化为iX()0,()0.04.iiEXDX12,,,nXXX独立同分布,1,2,,in01nniiYYX为(元/斤)为现在的020Y价格.①用切贝雪夫不等式估计30(1822)PY②再用中心极限定理估计30(1822)PY第n天的价格，解①303001()()()20iiEYEYEX303001()()()1.2iiDYDYDX303030(1822)(()2)PYPYEY301()/40.7DY②30(1822)PY30{1.826(20)/1.21.826)PY2(1.826)10.932.例11甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设他们射中的概率分别为0.4、0.5、0.7。又设若一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机坠毁的概率为0.8；无人击中，飞机不会坠毁。求下列事件发生的概率:(1)飞机坠毁;(2)飞机已坠毁的条件下,三人都击中解B={飞机坠毁}设={i击中飞机}（i=甲、乙、丙）iA={恰有i人击中飞机}（i=0,1,2,3）iB4.0)(甲AP5.0)(乙AP7.0)(丙AP6.0)(甲AP5.0)(乙AP3.0)(丙AP由已知得：例16丙乙甲AAAB0丙乙甲APAPAPBP)(009.03.05.06.0丙乙甲丙乙甲丙乙甲AAAAAAAAAB17.05.06.03.05.06.03.05.04.0)(1BP36.0同理41.0)(2BP14.0)(3BP8.0)|(6.0)|(2.0)|(0)|(3210BBPBBPBBPBBP3210,,,BBBB而是样空间的一个划分30)|()()(kkkBBPBPBP14.08.041.06.036.02.009.0043.0（1）26.043.08.014.0)()|()()()()|(3333BPBBPBPBPBBPBBP（2）例12随机变量X服从（-2,2）上的均匀分布,求Y的概率密度.2XY解X的密度为1/422()0Xxfx其它2()()()YFyPYyPXy000414yPyXyyy0004214yyyy1044()0Yyyfy其它例13设均服从参数为12,,,,nXXX的泊松分布，则1limniinXnPxn（1）例1811limniniPXn（2）()x111limniniPXn（3）0例19例14设总体X的分布密度函数为.,0,0,/)(6)(3其他xxxxf求的矩估计量并计算ˆ.)ˆ(D解2)(6)()(032dxxxdxxxfXE估计量是样本的函数.2ˆXXXE)(令例21.5)(4)(4)2()ˆ(2nnXDXDXDD20)()()(222XEXEXD103)(6)()(203322dxxxdxxfxXE例15设X服从上的均匀分布的极大似然估计量.),,,(21nXXX为X的一个样本,求参数0,解似然函数总体的密度函数为10()0xfx其它10()0inxL其它1110min,max0iinininxx其它ln()lnLn0n而ln()Ln即似然程无解1110min,max()0iinininxxL其它为使越大，则要越小()L所以的极大似然估计值为：1ˆmaxiinx即的极大似然估计量为：1ˆmaxiinX例20例(15)设总体X的密度函数为解/,,(;,)(0)0,.xexfxx的极大似然估计量.,),,,(21nXXX为X的一个样本,求参数nnxnixniiieeL11似然函数ln//0Ln221ln////0niiLnnx似然方程组为ln1ln1nnxLnii似然方程组无解(;,)0fx由题设，若必须x即121,,nniminXXXiminX0,越大，越大，故似然函数1ˆminniiX1ˆminniiXX的极大似然估计是通过似然方程求得.例16设某次概率统计考试考生的成绩X~N(,2),从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试的平均成绩为70分？并给出检验过程.解.70:;70:10HH例24拒绝域:nxttnSn270(1)2.0301/t66.5701.42.030115/36落在拒绝域外，接受0H即认为这次考试的平均成绩为70分.统计量取:nXTtnnSn70(1),36/例17用包装机包装洗衣粉.在正常情况下，问该天包装机工作是否正常？().05.0例25每袋重量为1000克，标准差不能超过15克.假设每袋净重2~(,).XN某天为检查机器工作是否正常，随机抽取10袋得其净重的22(30.23).ns998X均值，方差解(1)H0:=1000；H1:1000取统计量0~(1)/nXTtnSnn=10拒绝域：0.025(9)2.2622Tt99810000.2092.262230.23/10T落在拒绝域外，接受0H即认为该天包装机的平均重量正常.到此本题只做了一半,还应继续做下去(2)设2201:225;:225HH取统计量22220(1)~(1)nnSn拒绝域：220.05(9)16.91922029(30.23)36.5516.91915落在拒绝域内，拒绝0H综合(1)(2),虽然平均净重合格,但方差偏大，故包装机工作不太正常.例18已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布，现在测了5炉铁水，其含碳量为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（1）若方差