光纤光学_刘德明_光纤光学的基本方程

刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系1第二章光纤光学的基本方程刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系2光纤光学的研究方法几何光学方法波动光学方法适用条件dd研究对象光线模式基本方程射线方程波导场方程研究方法折射/反射定理边值问题研究内容光线轨迹模式分布§2.1引言刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系3分析方法比较刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系4分析思路刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系5§2.2麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程00//BDtBEtDH边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续：E1t＝E2t;H1t＝H2t;B1n＝B2n;D1n＝D2nD＝εEB＝μHe＝e0n2zererezeyexezrzyx.1为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系6分离变量：电矢量与磁矢量分离得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式：波动方程22//2222tHHtEEee刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系7分离变量:时空坐标分离令场分量为：得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即亥姆霍兹方程：前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系8§2.3程函方程与射线方程刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系9射线方程的物理意义物理意义：•将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;•由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;•dr/dS是光线切向斜率,对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,这表明光线将发生弯曲。•可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。)()(rndzrdndzd)()(rndSrdndSd刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系10反射型折射型典型光线传播轨迹刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系11分离变量：空间坐标纵横分离：前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波”，场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式：波导场方程0),(),(),(),(22yxHyxEyxHyxEt2＝w2eb2＝n2k02b2b=n(r)k0cosqz§2.4波导场方程刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系12波导场方程的数学物理意义波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程,其本征值为或β。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”.刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系13§2.5模式及其基本性质----每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;----每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;----模式具有确定的相速群速和横场分布.----模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系14横模光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的；激光的模式：刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系15光纤中的模式-横模刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系16纵模相长干涉条件：2nL＝Kλ纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵模”，纵模是指频率而言的。刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系17模式的场分量模式场分布由六个场分量唯一决定：ExEyEzHxHyHzErEEzHrHHzEz和Hz总是独立满足波导场方程场的横向分量可由纵向分量来表示0z2z2tzzHEHE刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系18直角坐标系纵横关系式bwxyizzx2EHEbwyxizzy2EHEbwexyizzx2HEHbweyxizzy2HEH刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系19圆柱坐标系纵横关系式bweyxizzy2HEHbwrr1izzr2EHEbwzz2r1riEHEbwerr1izzr2HEH刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系20横纵关系式weyx1ixyzHHEyxiyxixyyxzEEHHHwb1werzr1rrr11iHHEwbrrzrrrrrrrriEEHHH111111刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系21模式命名根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命名为:(1)横电磁模(TEM):Ez＝Hz＝0;(2)横电模(TE):Ez＝0,Hz≠0;(3)横磁模(TM):Ez≠0,Hz＝0;(4)混杂模(HE或EH):Ez≠0,Hz≠0。光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现TE(TM)模。刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系22模式场分布与传播常数刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系23010222022220220)()(knknarknarkrnrbbb芯区：为实数包层：为纯虚数传播常数传播常数b：z方向单位长度位相变化率波矢量k的z-分量bk=n(r)k0zqz刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系24模式的重要性质归一化频率V:给定光纤中,允许存在的导模由其结构参数所限定。光纤的结构参数可由其归一化频率V表征:V值越大,允许存在的导模数就越多。导模的“截止”:除了基模之外,其它导模都可能在某一个V值以下不允许存在,这时导模转化为辐射模。使某一导模截止的Vc值称为导模的截止条件。导模的“远离截止“:当导模的本征值β→n1k0时,导模场紧紧束缚于纤芯中传输,称之为导模的“远离截止”。同样,每一个导模都对应于一合适的V值使其远离截止,称之为导模的“远离截止条件。刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系25横向传播常数刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系26相速度与群速度在光纤中,Vp大于光速c/n1而Vg小于光速c/n1,并有如下关系式:Vp＝c/(n1cosθz)≥c/n1Vg＝(c/n1)cosθz≤c/n1其中θz是波矢K与z轴夹角。仅当θz＝0时才有Vp＝Vg＝c/n1。不同的θz角相应于不同的导模,对应于不同的相速Vp和群速Vg。刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系27群延时与色散刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系28模式的其它特性刘德明：光纤光学华中科技大学·光电子工程系29课堂测验(1)设计一种光波导结构，其传光波导层为平板形状，标出折射率结构。从数学上证明，在均匀折射率介质中，光纤轨迹为直线传播。如果已经知道光纤中只允许1个模式存在，能否通过外界激励获得2个模式传播？“纵横关系式”有何作用？光场分量的哪一个分量总是独立满足波导场方程？写出该波导场方程式。