光纤光纤光学及技术 第二章1

第二章光纤传输理论光有波粒二重性，即可以将其看成光波，也可以看成是由光子组成的粒子流。描述光传输特性的两种理论：射线理论（几何光学方法）波动理论（电磁场理论）射线理论当光线芯径远大于光波波长l时，可近似认为l→0,从而将光波近似看成由一根光线所构成。因此，可以用几何光学的方法来分析光线的入射、传播(轨迹)，以及时延(色散)和光强分布等特性。优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较精确的结果；缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光场分布等现象。而且当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误差较大。波动理论一种严格的分析方法，严格性在于：1）从光波的本质特性－电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场分布，具有理论上的严谨性。2）未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模光纤和多模光纤。几何光学方法波动理论法适用条件ldl~d研究对象光线模式基本方程射线方程波导场方程研究方法折射/反射定理边值问题主要特点约束光线模式光纤的射线理论分析-阶跃光纤射线类型子午光线斜射线子午光线一个周期内与光纤的中心轴线相交两次子午面：经过光纤中心轴线的面pQazz1n2np1n2nQ2a子午光线的传播路径及其在横截面的投影光线的模式导波（导模）：被限制在纤芯中以折线轨迹沿光纤轴线方向传播，芯包界面产生全反射辐射模：不满足全反射条件，芯包界面产生反射和折射，多次折射后，光能量迅速减少不同的模式入射角不同满足1c的角度是连续的，但是模式不是连续的相位一致条件同一等相位面上光的相位差为2p的整数倍4𝑎𝑘0𝑛1𝑐𝑜𝑠𝜃1+2𝜓=2𝜋𝑁,𝑁=0,1,2,⋯𝜓为界面发生全反射时的相位突变值不同的整数对应不同的入射角，使导模的入射角分立多模传输：N大模次越高，N小模次越小单模传输：基模【例2.1】某阶跃光纤纤芯半径为5μm,纤芯折射率n1=1.5，试求光波长分别为1.5μm和0.85μm时，两相邻导模入射角的余弦差解：当N分别取N+1和N时，对应导模的入射角分别为θ1’，和θ1，则有'0110114cos22π(1)4cos22πaknθψNaknθψN相减可得当波长为1.5μm时当波长为0.85μm时注：长波长下，导模入射角的间隔大'01114(coscos)2-πaknθθ'011011coscos24π-λθθaknna'01111.5coscos0.05441.55-λθθna'01110.85coscos0.0285441.55-λθθna【例2.2】：两阶跃光纤纤芯半径分别为5μm和50μm,纤芯折射率均为n1=1.5，假设相位突变值相同，试求在光波长为0.85μm时，两光纤中相邻模次的导模的入射角的余弦差为多少解：对纤芯半径为5μm的光纤，有'0111coscos4nal'01110.85coscos0.0285441.55-λθθna对纤芯半径为50μm的光纤，有注：纤芯半径越大，导模入射角间隔越小，即在θc~900间可容纳的的导模就会增加'01110.85coscos0.00285441.550-λθθna【例2.3】两阶跃光纤纤芯半径均为5μm,纤芯折射率分别为n1=1.5和1.53，试求在光波长为0.85μm时，两光纤相邻导模入射角的余弦差各为多少解：对纤芯折射率为1.5的光纤'0111coscos4nal'01110.85coscos0.00285441.55-λθθna对纤芯折射率为1.53的光纤注：纤芯折射率越大，导模入射角间隔越小，即在θc~900间可容纳的的导模就会增加。'01110.85coscos0.0028441.535-λθθna导模传播常数入射光线沿光线方向的波数k=k0n1在轴线方向的分量，就是该模式在轴线方向的传播常数β𝛽=𝑘0𝑛1𝑠𝑖𝑛𝜃1每一模式有一截止波长lc，当工作波长大于该模式的截止波长时，该模式截止，反之，模式传输导模的模次越高，其截止波长越短高次模都截止时，处于单模传输状态数值孔径与相对折射率差根据折射定律𝑛0𝑠𝑖𝑛𝜑𝑚=𝑛1sin90°−𝜃𝑐=𝑛1𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐=𝑛11−𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐=𝑛11−𝑛2𝑛12=𝑛12−𝑛22𝜑𝑚的值可说明光纤收集光线的能力数值孔径NA：用入射角的正弦值来描述220121sin2mNAnnnnΔ为光纤的相对折射率差，它反映纤芯和包层折射率的差异程度相对折射率差越大，光纤的数值孔径越大，收集光线的能力越强。通常把Δ很小的光纤称为弱导光纤221212nnn最大时延差通常用最大时延差来表示最低次和最高次导模间的时延差，它是入射角分别为临界角和900的两光线传输所用时间差𝜈为介质中的光束Δ越大，最大时延差越大c=)-(c=-sin=11211maxLnnnnLnvLθvLτc【例2.4】设两光纤的数值孔径分别为NA=0.20和NA=0.30，纤芯折射率均为n1=1.5，L=1km，试分别计算两光纤的最大时延差解：由，得12NAn221()2NAn121max2)c=c=nNALLnτ（对于的光纤NA=0.20对于的光纤NA=0.30(ns)44=10×3×5.1×22.0×10=2)c=82312maxnNALτ（(ns)100=10×3×5.1×23.0×10=2)c=82312maxnNALτ（斜射光线不在子午面内，是穿越子午面的光线焦散面：斜射线的内切圆对应的面P点是光线在芯包界面的入射点；PN为该点法线；PQ是圆柱面的母线，与光纤轴线平行；TP是过P点的纤芯横截面外圆的切线；α是入射光线与PN的夹角；𝜃𝑧是反射光线与PQ的夹角；𝜃𝜑是反射光线在横截面的投影PR与TP的夹角𝑃𝑅=𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑧𝑃𝑁=𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼𝑃𝑁=𝑃𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝜑可得光线轨迹𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑧𝑠𝑖𝑛𝜃𝜑内焦散面的半径𝑟𝑖𝑐=𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝜑数值孔径𝑁𝐴𝑠=𝑁𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃𝜑当𝜃𝜑=90°时，ric=0，子午光线0𝜃𝜑90°,偏斜光线（斜射线）束缚光线：子午光线和斜射线折射光线漏泄光线梯度型光纤射线分析射线类型子午光线斜射线子午光线梯度光纤中的光线也分子午光线和斜射光线两种。由于梯度光纤中纤芯折射率分布是随r变化的，光纤中子午光线不是直线传播，而是曲线传播。(a)子午射线(b)子午射线的曲折斜射光线是不经过光纤轴心的空间曲线，射线轨迹同样按照折射定律发生弯曲，形状比较复杂。kzz0梯度光纤中子午光射线轨迹剖析r0dzdsdrr(a)子午光线(b)斜射光线光纤的最佳折射率分布—自聚焦光纤射线的轨迹是Z的周期函数，当折射率分布为双曲正割型分布时，不同初始条件入射的子午光线有相同的轴向速度，能得到自聚焦。drNnrnNndz2020200)(dxNnxnNnZrr2020200)(0ArnhArnrncos)0(sec)0()(CNnnArNnAdrNnArnNnZ202020012020200)0(sinsin1cos)0(本地数值孔径和相对折射率差梯度型光纤的纤芯折射率是径向函数，数值孔径也与径向有关，称为本地数值孔径：相对折射率差为22012()sin()mNArnnrn22121(0)2(0)nnn阶跃光纤波动理论分析严格的矢量求解TE模，TM模，EH模，HE模标量近似解把所有模式归为一类阶跃光纤矢量解法可以先求纵向场分量，再根据横向场与纵向场的关系，确定横向场阶跃光纤中纵向场分量在柱坐标系下2220222000ZZZZEknEHknH22222022222222202222110110ZZZZZZZZZZEEEEknErrrrzHHHHknHrrrrz阶跃光纤中纵向场分量运用分离变量法，令代入，得两边同除以j(,,)()()ezzErzRr222220222d()1d()1d()()()()()()()0dddRrRrRrknRrrrrr21()()Rrr阶跃光纤中纵向场分量分离变量后得到关于r和θ的两个独立方程2222222022d()d()1d()()0()d()d()drRrrRrknrRrrRrr222222202d()d()()()d()drRrrRrknrmRrrRrr2221d()()dmHz有和Ez一样的通解形式cos(){sinmm2222222221020022222222203040J()N()0(){0K()I()mmmmAknβrAknβrknβRrknβAknβrAknβr纤芯和包层中的纵向场导模满足全反射条件取正旋，并乘以k0n10190c0201knkn22020kn22010kn在纤芯区，纤芯中的纵向场解应为同样场分量脚标中的“1”代表场分量是纤芯中的场分量222222-j1101201cos[J(-)N(-)]{esinβzzmmmθEAknβrAknβrmθ222222-j1101201sin[J(-)N(-)]{ecosβzzmmmHBknβrBknβrm在包层区，纵向场的解应为场分量脚标中的“2”代表场分量是包层中的场分量222222-j2302402cos[K()I()]{esinβzzmmmθEAβknrAβknrmθ222222j2302402sin[K(-)I(-)]{ecosβzzmmmθHBβknrBβknrmθ边界条件的应用为了方便，定义两个参量u和wu和w分别称为纤芯中横向相位常数和包层中横向衰减系数anku22120ankw22202在纤芯中，根据场有限可得纤芯区自然边界条件10zrE10zrH图2.10Jm(x)、Nm(x)的函数图形10xJ0(x)J1(x)J2(x)N1(x)N0(x)1002A02Bj11cosJ(){esinβzzmmθuEArmθaj11sinJ(){ecoszzmmθuHBrmθa类似的，在包层中，要求02rzE02rzH图2.11Im(x)、Km(x)的函数图形4x90I0(x)K1(x)K0(x)I1(x)应用自然边界条件后的包层中的纵向场分量可表示为04A04Bj23cosK(){esinβzzmmθwEArmθaj23sinK(){ecoszzmmθwHBrmθa纵向场在纤芯和包层界面上的边界条件令则arzarzEE21arzarzHH2113J()K()mmAuAwA13J()K()mmAAuAAw类似的则13J()K()mmBuBwB13J()K()mmBBuBBwj1cosJ(){esinJ()βzzmmmθAuErmθuaj1sinJ(){ecosJ()βzzmmmθBuHrmθuaj2cosK(){esinK()βzzmmmθAwErmθwaj2sinK(){ecosK()βzzmmmθBwHrmθwa阶跃光纤中横向场分量柱坐标系下横向场与纵向场的关系式为2220j1()-zzrEHEβωμknβrrθ2220j1()zzEHEβωμknβrθr2220j1()zzrHEHβωεknβrr2220j1()zzHEHβωεknβrr阶跃光纤中横向场分量j'122201cosje[J()J()]{sin