三角形四心的向量表示

三角形“四心”的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．OO点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。OABCOABC到的三顶点距离相等。故是解析：由向量模的定义知的外心，选B。ABCO是的外心OABCOAOBOCOABC若为内一点，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心222OAOBOCOAOBOC()()()OAOBABOBOCBCOCOACA0B例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。ABCDEFH,BHACCHAB()0()()()0.()0habhabhbahbahba.AHBC又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．,,,ABaACbAHh令,,,BHhaCHhbBCba则证：设BE、CF交于一点H，垂心ABCOAOCOCOBOBOA1.O是的垂心2.()||cos||cosABACABBACC[0,)是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.12例3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足(),||cos||cosABACOPOAABBACC()||cos||cos||cos||cosABACBCABBCACBCABBACCABBACC||||cos()||||cos||||0||cos||cosBCABBBCACCBCBCABBACC()||cos||cosABACBCABBACC()||cos||cosABACABBACC()||cos||cosABACOPOAABBACC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆则P的轨迹一定通过△ABC的_______∵∴∴在△ABC的边BC的高AD上.P的轨迹一定通过△ABC的垂心.所以，时，解:OCOBOBOA解:例4.点O是ΔABC所在平面上一点，若，则点O是ΔABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点OAOCOCOBOBOA0)(OCOAOB0CAOBCAOB则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.DOCBA垂心5.P是△ABC所在平面上一点，若则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心,PAPBPBPCPCPAD设中线BE,CF交于点G,连结EF,则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.同理中线AD,BE交于G,连结DE,则:DE//AB,且EG:GB=DG:GA=DE:AB=1:2,故G(,证明同一法:)G重合.三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理EFDGABC0OCOBOA3.O是的重心14.()3PGPAPBPCGABC为的重心.1.(),[0,)ABAC是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.ABC1,2ADABACABC2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;1()3PGPAPBPC例1．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心CGPCBGPBAGPAPG3()()PGAGBGCGPAPBPC0GAGBGC0,AGBGCG证明:∵G是△ABC的重心PCPBPAPG3)(31PCPBPAPG即由此可得（反之亦然（证略））1()3OGOAOBOC思考：若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则_______.OGO为△ABC的内心、垂心呢？例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．ABCEFDG11,,,.22ACbCBaADACCDbaEBECCBba则证：设∵A,G,D共线，B,G,E共线．,.AGADEGEB∴可设即：AG=2GD同理可得：AG=2GD,CG=2GF．11(),2211().22AGADbabaEGEBbaba则,AEEGAGADAG32313202121021111:().222bbaba即111()()0.,222abab不平行,重心例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．另证:连结EF,则EF为ABC的中位线,EF//BC,且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例得FG:GC=1:2,同样可得EG:GB=1:2,DG:GA=1:2.ABCEFDG重心想想看？四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．IIEFD1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的充要条件是0OCcOBbOAa||||||0BCOACAOBABOCACBOabcABACOP=OA+λ(+),λ∈[0,+∞).|AB||AC|2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心B内心(),||||ABACRABAC是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心；3.（2006陕西）已知非零向量与满足则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形ABAC1()0,2||||||||ABACABACBCABACABAC且解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理.不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择项，故答案必选D.D解法二：由于所在直线穿过△ABC的内心，则由(等腰三角形的三线合一定理)；又，所以,即△ABC为等边三角形，故答案选D.3A||||ABACABAC()0||||ABACBCABACABAC知||=||12||||ABACABAC注:等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、内心、中心”五心合一！法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系，如所在直线一定通过△ABC的内心;所在直线过BC边的中点，从而一定通过△ABC的重心；所在直线一定通过△ABC的垂心等.||||ABACABACABAC||cos||cosABACABBACC【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式;(2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.4.在△ABC中:(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求证：△ABC的面积22Δ21babaS1221Δ21babaS解:22(1).cos(1cos)sinS2222211221122abababababab22221212112212211221(2).||Saabbabababababab222211221122由(1)知:abab5.222例如图,在ABC内求一点P,使得:|AP|+|BP|+|CP|的值最小.ABCP222222222.||||||()()23()()3APBPCPb设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m-a,CP=m-bmmambamabab3解:b222a当m=时,即P为ABC的重心时,3|AP|+|BP|+|CP|的值最小.费尔马点(即正等角中心-当|AP|+|BP|+---P对三扩展:顶点A|CP,B,|的值最小时,点C的张角均为12P是ABC0的).ABC230,OAOBOC思考:如图，设点O在内部，且有则ABCAOC的面积与的面积的比为___________．3作AC、BC边上的中点E、D，2(1)(1)2(2)2(2)232(2)0.|||,2,22112223343COECODAOCCOECDEABCOBOCODOAOCOEOAOBOCODOEODOEODOESSSSSSS与共线且2|ABC解1:DEABCOOCBA作AC边上的中点E，2,6332()2,3,||3.||ABCAOCOEOAOCOEOAOCOAOBBAOEBASBASOE解2:ABC230,OAOBOC思考:如图，设点O在内部，且有则ABCAOC的面积与的面积的比为___________．3EOCBA如图，延长OB至D，使OB=BD；解3:ABC230,OAOBOC思考:如图，设点O在内部，且有则ABCAOC的面积与的面积的比为___________．3ED延长OC至E，使CE=2OC.则:2OB=OD,3OC=OE.230,0,OAOBOCOAODOE.OADE点是的重心11,391111,96183:3:1AOCAOEADEABCADEADEADEADEABCAOCSSSSSSSSSS