《序列的傅里叶变换的定义和性质

信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统信号用连续变量时间t的函数表示；系统则用微分方程描述；信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；(2)时域离散信号和系统信号用序列表示；系统用差分方程描述；频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；引言时域分析方法和频率分析方法序列的傅里叶变换的定义和性质1序列傅里叶变换的定义称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：()()jjnnXexne()nxn序列的傅里叶变换的定义和性质[例]:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FTjNj1N0nnjnjnNje1e1ee)n(R)e(X2sin)2Nsin(e2)1N(jsin()2()sin()2sin()(1)2arg[()]arg[]2sin()2jjNXeNNXe序列的傅里叶变换的定义和性质[例]:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如下图所示sin()sin()(1)22()arg[()]arg[]2sin()sin()22jjNNNXeXeP36例题2.1.2序列的傅里叶变换的定义和性质2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在FT定义式中，n取整数，因此下式成立结论：(1)序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。(2)X(ejω)可展成傅里叶级数，x(n)是其系数。X(ejω)表示了信号在频域中的分布规律。(3)在ω＝0,±2π,±4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT(2)()(),jjMnnXexneM为整数序列的傅里叶变换的定义和性质2.线性3.时移与频移设X(ejω)=FT[x(n)]，那么11221212()[()],()[()],[()()]()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe设：11221212()[()],()[()],[()()]()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe则：式中a,b为常数0000([()]()[()]()jnjjnjFTxnneXeFTexnXe0000([()]()[()]()jnjjnjFTxnneXeFTexnXe)11221212()[()],()[()],[()()]()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe改变相位序列的傅里叶变换的定义和性质4.FT的对称性(1)共轭对称序列共轭对称序列xe(n)满足：将xe(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：得到：xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)实部是偶函数虚部是奇函数序列的傅里叶变换的定义和性质(2)共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：对比上面两公式，左边相等，因此得到xo(n)=－x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)－jxoi(-n)实部是奇函数虚部是偶函数xor(n)=－xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)序列的傅里叶变换的定义和性质[例1]试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。将序列展成实部与虚部的形式，得到x(n)=cosωn+jsinωn上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。序列的傅里叶变换的定义和性质(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和xe(n),xo(n)和原序列x(n)有何关系？将上式中的n用-n代替，取共轭：根据上面两式，得到1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxn1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxnx*(-n)=xe(n)-xo(n)x(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(4)频域函数X(ejω)的对称性任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)Xe(ejω)=X*e(e－jω)Xo(ejω)=－X*o(e－jω)Xe(ejω),Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系1()[()()]21()[()()]2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe1()[()()]21()[()()]2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe序列的傅里叶变换的定义和性质(5)研究FT的对称性(a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到:X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。()[()]()()[()]()jjnrrnjjnoirnXeFTxnxneXeFTjxnjxne()[()]()()[()]()jjnrrnjjnoirnXeFTxnxneXeFTjxnjxne1()[()()]21()[()()]2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe()[()]()()[()]()jjnrrnjjnoirnXeFTxnxneXeFTjxnjxne()[()]()()[()]()jjnrrnjjnoirnXeFTxnxneXeFTjxnjxne()[()]()()[()]()jjnrrnjjnoirnXeFTxnxneXeFTjxnjxne()[()]()()[()]()jjnrrnjjnoirnXeFTxnxneXeFTjxnjxnexi(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(b)序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和其中：将上面两式分别进行FT，得到FT[xe(n)]=1/2[X(ejω)+X*(ejω)]=Re[X(ejω)]=XR(ejω)FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)]。1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxn1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxnx(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：x(n)=xr(n)+jxi(n)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw)FTFT序列的傅里叶变换的定义和性质(6)研究实因果序列h(n)的对称性因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。所以其FT具有共轭对称性。即：H(ejω)=He(ejω)H(ejω)=H*(e-jω)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数即：HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)序列的傅里叶变换的定义和性质实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2[h(n)+h(-n)]ho(n)=1/2[h(n)-h(-n)]因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：()ehn(),01(),021(),02honhnnhnn(),01(),021(),02honhnnhnn()ohn0，n=0序列的傅里叶变换的定义和性质实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)δ(n)信息2,01,00,0nnn()un分段增益函数序列的傅里叶变换的定义和性质[例2]：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解(2)()(),jjMnnXexne∵HR(ejw)=FT[he(n)]=1+0.5ejw+0.5ejw=he(n)e-jwn0.5n=-1∴he(n)=1n=00.5n=1根据实因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n)(2)()(),jjMnnXexne根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FT[h(n)]=h(n)e-jwn=1+e-jw0,n01n=0h(n)=he(0),n=0=1n=12he(n),n00其它n序列的傅里叶变换的定义和性质5.时域卷积定理设：y(n)=x(n)*h(n)则：Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)证明：令：k=n-m,则()()()()[()][()()]()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe()()()()[()][()()]()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe()()()()[()][()()]()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe()()()()[()][()()]()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe()11()()*()()()22()()()1()[()]2jjjjjjjnnjjnjnnYeXeHeXeHedYexnhnexnHeede()()()()[()][()()]()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeeh