8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体

定积分概念等问题baxxfd)(iniixf10)(lim定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(1.用定积分求下述极限:121lim)5(ppppnnn(考研98)2.积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证明下列各题,3,13,1)().1(上可导上连续，在在设xf且上可导在设,4,2)().2(xf，使。证明且3,1)()1(322dxxfxf0)()(2ff。432)()1()2(dxxfxf)()1()(24,2ff，使证明(3)3.变上限积分问题xattfxd)()()()d)(()(xfttfxxa(被积函数中不含自变量x)变限积分求导:)(d)(ddxattfx)()]([xxf)()(d)(ddxxttfx)()]([)()]([xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx例.求00例.确定常数a,b,c的值,使例.310)x(arctanxtdtlntlim.xxcos例40220)(arctan)1(lim.2ttdttextx例xxxdttxtxfxxf2)sin()()(lim.20，其中例00)(f,)x(f:且连续设例xxxdttxfxdttftx000)()()(lim求)21(例.由设隐函数例)x(yy,ydtexyt确定22030)x(y求明：为周期的连续函数，证是以设例T)x(fTTxxdt)t(fdt)t(fx0有的对内的连续函数，是设例a,a)x(fxdt)t(f,)x(f0则为奇（偶）函数证明若偶（奇）函数11)(f)x(f是连续函数，设例,adt)t(fb,aaba无关与有的若对)x(f求例.例.上可导上连续，在在设例1010,,)x(f.,)(f00且10)x(f103210dxdx)x(f)x(f:求证例.,dx)x(fdx)x(f010递减即证提示：去证明xdx)x(f,dx)x(fdx)x(fx01001定积分的应用2.极坐标系上在摆线例tcosay,tsintax:1的点的坐标求分摆线第一拱成3:1面积问题及求抛物线例342xxy:处的切线所和其在点0330,,围成的图形的面积的面积求下列曲线围成的图形例:轴围成图形的面积与摆线xtcosay,tsintax.2011t.tsinay,tcosax.围成图形的面积星形线332832acosrcosr131及例:求下列曲线所围成图形的公共部分的面积2222cosrr及sin23162coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,2221aA2221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa例:4sinsincosrara及旋转体的体积问题例:(2)绕直线2x旋转所得旋转体的体积.(3)绕直线2y旋转所得旋转体的体积.(4)绕直线2y旋转所得旋转体的体积.(1)例:，过原点作其切线，设有曲线1xy.；体积轴旋转而得的旋转体的）求该平面图形绕（Vx2;1Sx图形的面积轴围成的平面求由该切线与）（oxy，设切点为解)1,(),(:0000xxyxxxy1210过原点的切线方程为：代入得：将)1,(00xxxyyx211200，例:.31)31()21(11023102yyydyyyS）（dxxdxxV221220)1()21(2）（6oxy(3)绕直线2x旋转所得旋转体的体积.10,1,.4212asxsxyaxy且围成图形的面积为它们与围成图形的面积为与设21,0213123)()(,10)1(23120221aasaadxaxxdxxaxsssaaa得由时解1s2soxy1最小使求21,)1(ssa.)2(体体积轴旋转而得的旋转图形绕求此最小值对应的平面x,02)21(s3012)2(xV.10622)21(时的最小值为故as其它积分问题例．设dttcos)x(Sx0，（1）当n为正整数，且)n(xn1时，证明：)n()x(Sn122；（2）求x)x(Slimx.2.t11lim030dtsintxxx）－（例：求20201cos.limxxtdtxx＋（－）例：求110（）00)(f,)x(f:且连续设例xxxdttxfxdttftx000)()()(lim求)21(11)(f)x(f是连续函数，设例,adt)t(fb,aaba无关与有的若对)x(f求)x(F,tdtsine)x(F.xxtsin则设例2为正数).A(恒为零).C(为负数).B(不是常数).D(为常数)x(F)(Ftdtsine)x(F(xxtsin0220200tcosdetdtsine)(Ftsintsin)tdtcosetsin0202。上连续，－在例：0aaa,f(x).dxx)f(f(x)xaa－－＋求22220sin21sinxxdxx例:求1sin0200xxfxxx例:已知或0()(),xxftdt求在上的表示式0)(0)(.xfxxf时，为奇函数，且当设例向上凸，提示：0)(1)(11xxduufxdtxtf，令其中xxdttxtxfxf2)sin()(,0)(,)()()(02211xdtxttfdtxtfxF上的凹凸性，在判别)(xF