光学教程第3章_参考答案

13.1证明反射定律符合费马原理。证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n1和n2。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。为了确定实际光线的路径，通过A,B两点作平面垂直于界面，'OO是它们的交线，则实际光线在界面上的反射点C就可由费马原理来确定，如下图所示。(1)反证法：如果有一点'C位于线外，则对应于'C，必可在'OO线上找到它的垂足''C.由于''AC'AC,''BC'BC,故光线BAC'总是大于光程B''AC而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。(2)在图中建立坐XOY坐标系，则指定点A,B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），未知点C的坐标为（x，0）。C点是在'A、'B之间的，光程必小于C点在''BA以外的相应光程，即21vxx，于是光程ACB为yxxnyxxnCBnACnACBn2211221221111)()(根据费马原理，它应取极小值，即0)(1ACBndxd0)sin(sin)()()()()()(21112222211212111iinCBBCACCAnyxxxxnyxxxxnACBndxd所以当11'ii，取的是极值，符合费马原理。3.2根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点发出并会聚倒像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。解：略23.3眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d为30cm。求物PQ的像与物体PQ之间的距离2d为多少？解：玻璃板前表面有折射定律得1'sinsin21nii，后表面有'1'sin'sin12nii，所以有1212sinsin'sin'siniiii显然对于平板玻璃来说22'ii，因此，由1212sinsin'sin'siniiii得11'ii，说明出射光线A2E//QA1，平板玻璃厚度为d出射光线对入社光线的侧移量)sin(2121iiAAl而221cosidAA，所以有)sincoscos(sincos)sin(cos21212212iiiiidiiidl2211sincoscossiniiidid)sinsincoscos1(sin12211iiiiid而'1sinsin12nii，将其代入上式得)sin1cos'11(sin)coscos'11(sin2211211iinidiinidl)sin)'1(1cos'11(sin12211ininid3)sin'cos1(sin12211iniid则PQ于P’Q’之间的距离为)sin'cos1(sin1)sin'cos1(sinsin122111221112inidiiniidild2d的大小不仅与玻璃折射率和玻璃厚度有关，而且与物体发出的光线入射玻璃的入射角有关，入射角不同，2d不同。当入射角1i=0时，即垂直入射，则有cmndd10)5.111(30)'11(23.4玻璃棱镜的折射棱角A为60度,对某一波长的光其折射率n为1.6。计算:(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。解：(1)由最小偏向角测折射率的公式2sin2sin0AAn，得2sin2sin0AAn，所以AAn)2sin(sin21060)260sin6.1(sin210'1646608.0sin210(2)此时的入射角'853260'16462010Ai(3)有折射定律得nii1'sin'sin1026.1190sin6.11'sin1'sin102ini4'41386.11sin'12i而'1921'413860'22iAi又因为nii1sinsin102，得210sinsinini所以'3435)'1921sin6.1(sin)sin(sin12110ini3.5题3.5图表示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个906030棱镜与一个904545度度棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i方向入射，旋转棱镜改变1，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r。求证：如果2sin1n，则21，且光束i与r垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）。解：(1)因为21sinsinin，若2sin1n，则21sin2i，得302i有图中几何关系易得30'22ii再有折射定律得230sin'sinsin22nnin得12，证毕。(2)又因为9011，9022而12，所以21即得ir。3.6高5cm的物体距凹面镜定点12cm。凹面镜的焦距为10cm，求像的位置及高度，并作出光路图。5解：由球面反射物象公式'11'1fss由题意可知y=5cm，s=-12cm，102'rfcm，代入得101121'1s's=-60cm又由'''nnssyy1112605'y即25'ycm3.7一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚像，求：(1)此镜的曲率半径；(2)此镜是凸面镜还是凹面镜？解：由放大倍数'''nnssyy1110'51s得62'scm又因为rss21'1得r210121，即5rcm(2)因为5rcm0，故为凸面镜。P160，NO3.8解：由球面反射物象公式'11'1fss4011011'1'1sfs8'scm所以2424082)('ssxcmP160，NO3.9解：由习题3.3可知，放入玻璃板得效果是折射光线得反向延长线交点P’再P点得右边距离)sin'cos1(1221inidl，近似为)11(ndl即73.10欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少?解：由球面折射物象公式rnnsnsn'''由题意可知，s，s’=2r，n=1，所以rnrn1'12'得2'n3.11有一折射率为1.5，半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：(1)物所成的像到球心之间的距离；(2)像的横向放大率。解：(1)已知：对前一折射面，s=-6cm，r=4cm，5.1'n，n=1由球面折射物象公式)'(1''nnrsnsn得)15.1(4161'5.1s计算得36'scm对后一折射面s=-36-8=-44cm，r=-4cm，1'n，n=1.5由球面折射物象公式)'(1''nnrsnsn得)5.11(41441'1s计算得11'scm，所以物到球心之间的距离为15cm8(2)横向放大率：对前一球面6636''1ssyy对后一球面414411''2ssyy所以总的放大率23)41(621，即放大倒立实像。3.12一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡。看上去一个恰好在球心，另一个从离观察者最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点。求两气泡的实际位置。解：rnnsnsn'''rnnsn''s'n（1）即r's所以rrnnrsnn''n即rs，仍在原来球心处，物像重合。（2）2r's所以rnnrnnrrnnrsn'''2n'2/'n即)'(2'nnndnnnrs(d为球的直径)05.6)53.11(2102053.12scm离球心的距离95.305.610lcm。3.13直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。9解：由球面折射物象公式)'(1''nnrsnsns=-0.5m、r=-0.5m、1'n、n=1.33，代入得)33.11(5.015.033.1'1s计算得5.0'sm故小鱼的表观位置仍在原来的位置。横向放大率33.1133.15.05.0'''1nnssyy。3.14玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm，将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。解：如图所示，物方焦距647.15233.150.133.1'rnnnfcm像方焦距647.17233.150.150.1'''rnnnfcm由球面折射高斯公式1''sfsf，8scm18647.15'647.17s即46.18'scm3.15有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm。一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸在水中，分别用作图法和计算法求像点的位置，设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为101.33。解：(1)当两表面均为凸球面时，物方焦距12.39105.133.11033.15.133.122111rnnrnnnfcm像方焦距12.39105.133.11033.15.133.1'22112rnnrnnnfcm由薄透镜成像的高斯公式1''sfsf20scm所以12012.39'12.39s92.40'scm(2)当两表面均为凹球面时，物方焦距12.39105.133.11033.15.133.122111rnnrnnnfcm像方焦距12.39105.133.11033.15.133.1'22112rnnrnnnfcm由薄透镜成像的高斯公式1''sfsf20scm所以12012.39'12.39s23.13'scm(3)作图法略3.16一凸透镜在空气中的焦距为40cm，在水中时焦距为136.8cm，问此透镜的折射率为多少(水的折射率为1.33)?若将此透镜置于CS2中(CS2的折射率为1.62)，其焦距又为多少？解：透镜在空气中的焦距为22112'rnnrnnnf空气，即2111140rnrn11401]11)[1(21rrn（1）透镜在水中的焦距为22112'rnnrnnnf水，即2133.133.133.18.136rnrn8.13633.1]11)[33.1(21rrn（2）由1、2两式得57.233.18.136401)33.1()1(nn)33.1(57.2)1(nn得n=1.54（2）透镜置于水CS2中的焦距为]11)[62.154.1(62.154.162.162.154.162.1'2121221122rrrrrnnrnnnfCS(3)由1式及n=1.54得046296.0)154.1(1401)1(1401]11[21nrr代入3式中得046296.0)62.154.1(62.154.162.162.154.162.1'21221122rrrnnrnnnfCS4.437'2CSfcm3.17两片极薄的表面玻璃，曲率半径分别为20cm和25cm．将两片的边缘粘起来，形成内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距为多少？解：78.4425133.12033.1133.1'22112rnnrnnnfcm3.18会聚透镜和发散透镜的焦距都是10cm，求：(1)与主轴成30°的一束平行光入射到每个透镜上，像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴lcm处各置一发光点，成像在何处?作出光路图。12解：(1)因为'11'1fss,而s,