《自动控制原理》第二版第二章数学模型线性化

湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.2.2非线性数学模型的线性化2.2.2.12.2.2.22.2.2.3常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法Example液面系统单摆Example液面系统单摆单变量多变量湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.2.2.1常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数不依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理叠加原理：可加性齐次性1212()()()()()fxxfxfxfxfx不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型1.几种常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型常见非线性情况饱和非线性间隙非线性湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型单摆(非线性)是未知函数的非线性函数，所以是非线性模型。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型液面系统(非线性)是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2.2线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.2.2.3线性化的方法非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。（1）忽略弱非线性环节如果元件的非线性因素较弱或者不在系统非线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型（2）偏微法以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对稳态工作点的偏差。增量（微小偏差法）假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程局部线性增量方程湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用来减小或消除偏差，所以各元件只工作在平衡点附近。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型0xy饱和（放大器）y0x0y=f(x)A(x0,y0)湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数忽略二次以上的各项，上式可以写成这就是非线性元件的线性化数学模型202200)(!21)()(00xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0xxx0xdxdyk湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型（3）平均斜率法如果一非线性元件输入输出关系如图所示,此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为kxy11xyk0xyx1y1-x1-y1(死区)电机湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如0继电特性0饱和特性不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型增量方程增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型单摆模型(线性化)湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型液面系统线性化常数！湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型练习题：水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为C，R表示流阻。阀门活塞浮子水H(t)Q1Q2Q1单位时间进水量Q2单位时间出水量02010QQ此时水位为H0湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型解：dt时间中水箱内流体增加（或减少）CdH应与水总变化量（Q1-Q2）dt相等。即：CdH=（Q1-Q2）dt又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有其中为比例系数。RHQ2R1湖南文理学院电气工程系自动控制原理第二章控制系统的数学模型显然这个式子为非线性关系，在工作点（Q20,H0）附近进行台劳级数展开。取一次项得：为流阻。于是水箱的线性化微分方程为,2102RHHRHQRHR021RQHdtdHRC