2018学高考理科数学通用版二轮复习 第二部分 板块(一) (五)分类讨论 化繁为简

(五)分类讨论化繁为简分类讨论思想的含义分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化了解题思路，降低了问题难度.分类讨论思想在解题中的应用1由数学概念、法则、公式的限制而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角、等差、等比数列{an}的前n项和公式等．2由数学运算、性质要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，函数的单调性，基本不等式等．3由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．4由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.[典例](2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.[解析]设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则S3＝a11－q31－q＝74，S6＝a11－q61－q＝634，解得q＝2，a1＝14，则a8＝a1q7＝14×27＝32.由概念、法则、公式引起的分类讨论[答案]32本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由a11－qn1－q0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝a11－qn1－q进行讨论．[技法领悟][应用体验]1．一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为()A．x＋y－7＝0B．2x－5y＝0C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0解析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.答案：C2．若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析：若a1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意，若0a1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．答案：14[典例](2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A．(a－1)(b－1)＜0B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0D．(b－1)(b－a)＞0由运算、性质引起的分类讨论[解析]∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.综上可知，选D.[答案]D应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．[技法领悟][应用体验]3．已知函数f(x)＝ax＋b(a0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.解析：当a1时，函数f(x)＝ax＋b在－1，0上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0a1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.答案：－324．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解：(1)由cos2C＝1－2sin2C，得sinC＝104.(2)由2sinA＝sinC，得2a＝c，所以c＝4.由sinC＝104，得cosC＝±64.下面分两种情况：①当cosC＝64时，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得b2－6b－12＝0，解得b＝26.②当cosC＝－64时，同理可得b＝6.综上c＝4，b＝26或b＝6.由参数变化引起的分类讨论[典例](2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x（－∞，－3a3）－3a3（－3a3，3a3）3a3（3a3，＋∞）f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，3a3，＋∞.(1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a0两种情况．(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．[技法领悟][应用体验]5．(2017·山东高考)设f(x)＝x，0＜x＜1，2x－1，x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8解析：当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2a，解得a＝14或a＝0(舍去)．∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f1a＝6.答案：C6．设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)0和g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围为()A．(7，＋∞)B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)解析：由f(x)＝x2－ax＋a＋3，知f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)0，所以Δ＝a2－4(a＋3)0，解得a－2或a6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过(2,0)，故当a6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示．答案：A由函数的图象知，当a6时，若g(x0)0，则x02，∴要使f(x0)0，则需a6，f20，解得a7.当a－2时，若g(x0)0，则x02，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝a20，故函数f(x)在区间a2，＋∞上为增函数，又f(1)＝4，∴f(x0)0不成立．综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).根据图形位置或形状分类讨论[典例]设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．[解]①若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)破解此类题的关键点：①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．[技法领悟][应用体验]7．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A．833B．43C．239D．43或833解析：当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.答案：D8．过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；当直线l与实轴垂直时，有3－y22＝1，解得y＝2或y＝－2，所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.答案：C9．已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A．－12B．12C．0D．0或－12解析：不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)答案：D结合图形可知斜率k的值为0或－12.所示，由图可知，若要使不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0，表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．1．分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．[总结升华]2．分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．(2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．[总结升华]