6-4正弦定理与余弦定理(3课时)

6.4正弦定理与余弦定理知识梳理t57301p2设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R，内切圆半径为r.1.三角形的基本性质：（1）内角和定理：A＋B＋C＝π.（2）边角大小关系：A＞Ba＞b；a＋b＞c；a－b＜c.2.三角形面积公式：111sin()222SahabCabcr3.正弦定理：2sinsinsinabcRABC===4.余弦定理：2222cosabcbcA=+-2222cosbacacB=+-2222coscababC=+-拓展延伸1.解三角形需要三个独立条件，若已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角，则用正弦定理求解；若已知两边及夹角或已知三边，则用余弦定理求解.2.已知两边和其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解，相关结论如下表：无解a＜bsinA一解a＝bsinA两解a＞bsinA无解无解a＜b一解无解无解a＝b一解一解一解a＞bA＜90°A＝90°A＞90°3.将正、余弦定理作适当变形，可得到一些变通公式，如：（1）；2(sinsinsin)abcRABC++=++222cos2bcaAbc+-=（2）；（3）；222sinsinsin2sinsincosABCBCA=+-（4）；22sinsinsin4abcSRABCR（5）c＝acosB＋bcosA等等.考点分析考点1判断三角形的形状例1在△ABC中，分别判断下列条件下△ABC的形状：（1）；（2）.22tantanAaBbtantan()tan2ABaAbBab【解题要点】利用正、余弦定理化边为角或化角为边→将已知条件化简为角的关系或边的关系.考点2以三角形为背景的求值问题例2在△ABC中，已知sinA︰sinB︰sinC＝，求最大内角.(31):(31):10例3在△ABC中，已知b2＋c2－a2＋bc＝0.（1）求角A的大小；（2）若，求bc的最大值；（3）求的值.3asin(30)aCbc例4（09·全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知cos(A－C)＋cosB＝,且b2＝ac，求角B.32例5（09·江西卷）在△ABC中，已知，且sin(B－A)＝cosC.（1）求角A，C的值；（2）若，求边a，c的值.sinsintancoscosABCAB33ABCS例6在△ABC中，已知b＋c＝2a，试推断是否存在常数p，使成立？若存在，求p的值；若不存在，说明理由.1cos1cossinsinsin1cosBCApBCA【解题要点】确定求值对象→转化边角条件→利用相关公式或三角变换或方程思想求值.考点3以三角形为背景求变量的取值范围例7在△ABC中，已知a2＝b(b＋c)，求的取值范围.ab例8已知△ABC的面积，若存在实数λ使得a＋c＝λb，求λ的取值范围.32SABBC【解题要点】将已知条件转化为角的关系→将所求变量表示为三角函数→确定函数的定义域→将变量范围转化为函数值域.考点4解三角形与平面向量的综合应用例9在锐角△ABC中，已知向量u＝，v＝(cosB，sinB)且u∥v.（1）求角B的值；（2）求sinA＋sinC的最大值.222(,3)acbac例10（09·湖南卷）在△ABC中，已知，求角A，B，C的大小.223||||3||ABACABACBCuuuruuuruuuruuuruuur【解题要点】将向量条件转化为边角关系→结合正、余弦定理和三角变换解决相关问题.考点5解三角形的实际应用例11如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里，试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？ABCD东北例12（09·宁夏/海南卷）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.ABMN【解题要点】提炼或设置相关数据→将实际问题化归为解三角形→求三角形的边角值→作答.