6-5定积分计算功、水压力和引力

第五节功、水压力和引力•一、变力沿直线所做的功•二、水压力•三、引力•四、小结由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.一、变力沿直线所作的功例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为2rqkF（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从ar处沿r轴移动到br处时，计算电场力F对它所作的功．解取r为积分变量，roqab1r],,[bardrr取任一小区间],[drrr,功元素,2drrkqdw所求功为drrkqwba2barkq1.11bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa2arkq1.akq点击图片任意处播放\暂停例2一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立坐标系如图xdxx取x为积分变量，]5,0[xxo5取任一小区间],[dxxx,xoxdxx5这一薄层水的重力为dx238.9功元素为,2.88dxxdwdxxw2.885050222.88x3462(千焦)．由物理学知道，在水深为h处的压强为hp，这里是水的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为ApP．如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．二、水压力例4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．解在端面建立坐标系如图xo取x为积分变量，],0[Rx取任一小区间],[dxxxxdxx小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为.222dxxR,xp小矩形片的压力元素为dxxRxdP222端面上所受的压力dxxRxPR2202)(22022xRdxRRRxR032232.323R由物理学知道，质量分别为21,mm相距为r的两个质点间的引力的大小为221rmmkF，其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．三、引力例5有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，计算该棒对质点M的引力．2l2lxyoMa解建立坐标系如图取y为积分变量取任一小区间],[dyyy,2,2lly将典型小段近似看成质点小段的质量为,dyrydyy小段与质点的距离为,22yar引力,22yadymkF水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx2322)(22yadyamkFllx,)4(22122laalkm由对称性知，引力在铅直方向分力为.0yF利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相关的物理知识）四、小结思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．一、直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为310厘米牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？二、一物体按规律3tcx作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x移至ax时，克服媒质阻力所作的功.三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610米和米，高为20米，较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力.练习题四、半径为的球沉r入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？五、一块a高为，b底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力.六、设有一半R径为，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质的量为m质点M，试求这细棒对质M点的引力.七、油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流与速v流处到管子中心的距之间离r有关系式)(22rakv,其中为比例k常数，为油管a半径.求通过油管的流量（注：当流速为常量时，流量=流速截面积）.一、2ln800(焦耳).二、3732725akc(其为中k比例常数).三、14373(千牛).四、gr434.五、ba261.六、引力的大小为2sin2Rkm,方向指为M向圆弧的中心.七、42ak.练习题答案