6-8章相似理论与模型试验解析

相似理论与模型实验授课对象：研究生授课教师：严仁军二О一四年十月Page2第六章用定律分析法导出相似准则1.前提和条件一个现象，当利用定律分析法导出相似准则时，前提是现象必须有可能利用这种方法解决问题。而在由“可能“变为”现实“的过程中，则需要考虑如何正确的选择物理定律。但要注意，适用于现象的任何物理定律都不是孤立的，各个物理定律表现在同一现象上有着密切的联系。只有在总体效果上满足相似要求的时候，才能说其中的某个定律是通用的。适用的物理定律并不一定都是主要的。为了简化实验过程，突出主要矛盾，暴露现象本质，还应通过实验剔除一些次要的物理定律。Page3【例2】试求同一长度、不同管径的二管道内具有同一平均流速的液体紊流状态的模拟条件。解：支配这一现象的物理定律是管壁液层与中央主液流间的粘滞剪切力和主液流的惯性力。①惯性力由下式描述：②粘滞剪切力由下式描述：2,AlttAlmmuF（6-7）llAAFVV（6-8）2.相似准则的导出Page4式中ρ为液体密度；A为液体横断面积；l为管长；ν为液流平均速度；为粘滞剪切力；Aω为剪切面积；μ为动力粘滞系数；ω为湿壁周长；δ为管壁液层厚度（二管可假定一致）对本例而言，有用的π项为二力之比，即为使二管道紊流状态相似，需使式（6-9）所示的π项在二管道上保持同值，即VAlFF（6-9）mmmmmmmAlAl（6-10）Page5根据题意，。此时若采用同一种类液体，则因，便得二管道液体紊流状态的模拟条件为：此比值即为人们所熟知的水力半径Rh。利用水力半径的概念，便可将现象推广用于不用断面形状管路液体紊流状态的模拟。当原型和模型的长度不同时，水力半径应如此选择，使二者比值符合于长度缩尺。mmmll,,mm,AAmm（6-11）mllllccPage6【例3】建立一模型以预测原型梁自由振动的衰减时间。（设二梁几何相似）解：梁的振动过程与弹性力、惯性力以及内摩阻有关。故在本例情况下应利用这三方面的物理定律。①弹性力可用胡克定律描述。如果忽略掉泊松比的影响，则应力与应变之间的关系服从下式式中σ为应力；E为弹性变量；ε为应变。②惯性力在任一微元上都是由牛顿第二定律控制的，即式中f为力；m为质量；a为加速度。Eadmdf（6-12）（6-13）Page7③内摩擦力应当表示成单位容积在每周期内的能量损失时，可假定与最大应力σm的三次幂成正比，与频率无关，即式中dU为体积dV在每周期内能量消耗；c为材料常数。在相似分析中，通过积分内比法可将式（6-13）、（6-14）中的微分号除去，改由特征参量表示根据（6-12）、（6-15）、（6-16），可得三π项为。π项的这三种形式，很难用于指导真正的模型设计。只有把他们转化成由长度、时间和力所表示的π项，才能对解决本例的问题有利。这时3mcdVdUmaf3VcU3,,VcUmafEdie（6-14）（6-15）（6-16）Page8以上三式中，只有（6-18）带有时间参量t，故将该式除以式（6-17）或（6-19），便得二有用的π项为由于模型梁与原型梁几何相似，故应控制住εm=ε。同时，由于二梁取相同的材料，即ρm=ρ，Em=E，cm=c，故按二梁π值相等原则，可得clfVcUtlfmafElfElflVlVVmlf2/,324,2/23322/tlaflU222221c,tltEl或（6-19）（6-18）（6-17）（6-20）Page9式（6-21）的意义在于说明，如果测得模型梁震动的衰减时间为tm，则只需将该值乘以原型、模型间的几何缩尺比例cl（cl=l/lm），便可用于预测原型梁震动的衰减时间t。本例如用其他二法求解，条件同样具备。但方程分析法必须首先列出方程；而量纲分析法必须首先找出正确的物理参量。mmmmmtctlllltt1t或（6-21）Page103.剔除多余物理定律的根据只有充分掌握现象机理，才能在一开始就排除多余的物理定律，使问题分析过程简化。实际上，剔除多余物理量定律的意义常常还不单纯表现在分析过程的简化上。更多的时候，对采取这种做法的必要性是从现象本质或客观的效果上去理解的。例如：①在某些类型的震动结构中，重力对固有频率的影响太小，故重力定律可不作考虑；②大多数结构问题都不考虑诸如倒角、焊缝、凹槽、铆钉孔等对相似性研究所产生的的影响，而仅着眼于结构的整体特征；③在一些低温现象中，热辐射作用十分次要，所以忽略热的辐射定律是可靠的；Page11此外，借助于剔除多余的（或次要的）物理定律，常常还能帮助人们避免相似分析中出现的矛盾，从而使参量缩尺和模型实验成为可能。可以举流体的稳定流动为例。液体的稳定流动是被两个定律支配的，即牛顿的惯性定律和牛顿液体的粘滞性定律。这两个定律用在液体的稳定流动中，模型实验的相似性要求不会出现矛盾。但如果因为运动状态的变化而必须加入其他定律时（例如研究船只行驶阻力时需加入重力定律），情况就会发生变化。为了避免这种情况下必然会出现的矛盾（例如既要求cv=cl），又要求cv=cl1/2),常常根据具体情况，忽略掉上述二定律中的一个。Page124.要正确的使用符号“”物理定律是用于说明现象的本质和物理概念的。因此为了如实反映某一现象或现象的某一方面，定律中的参量必须、而且也只能有一种选择。但根据相似理论，在做现象的相似性分析时，却允许在定律之后采用“”的符号，以便将定律所代表的意义加以引申。但这绝不等于说可以因符号“”的存在而随意改变初始定律中的物理参量。可以举破冰船的破冰过程是这样的：船只都以三种状态破碎冰层：①船只冲撞冰层；②船（局部）滑行于冰面之上；③利用船只重量使冰层弯曲。因此支配这一现象的物理定律主要有三个：惯性定律，重力定律，以及与冰层最大许用应力有关的定律（弯曲力定律）。Page13三个定律应这样正确描述：1）惯性定律2）重力定律3）弯曲定律式中υ为船只撞击冰层时的速度；ρ为冰层密度；M为冰层弯曲力矩；σu为冰层弯曲应力的许用值；l为冰层水平长度及船只所有特性长度；h为冰层厚度。注意式（6-22）、（6-23）中对质量m的意义所作的引申。质量m本是指船只说的，但这里在定律后取，变成了冰的质量。233lmaFlmala/2glmgFlmg33ulhMhlMFu22（6-22）（6-23）（6-24）3lmPage14这种引申的根据，是把船只密度和冰层密度二者间的比例关系看成是一常数，故在相似分析中是允许的。如果现在做模型试验，则模型船的设计条件应按如下步骤求得：1、先求Fg、Fσ二力之比，可得模型设计条件为：若取同一冰层，则因，上式可改写为：此即为模型设计的几何条件。umummmumummmmhlhlhglhlg23232323,或umum,233,lhmmccllhh或（6-25）Page152）再求Fa、Fg二力之比，可得另一模型设计条件为此即为船模设计的运动学条件。显然，实际上述几何条件和运动学条件的前提是，要做到模型船只和原型船只密度上的一致。分析式（6-25），可知船模设计的几何条件在ρm=ρ的情况下与冰层的类型无关，故船模实验即可在海水冰面上进行，也可在淡水冰面上进行。后者为模型实验提供了很多方便条件。现在来看把符号“”错误的使用于弯曲力定律所产生的后果。如果人们不分析破冰船破冰过程中长度l与厚度h在意义上的不同，而笼统的把这一定率用符号“”写成，则不难得到lm=l或cl=1的船模设计结果，从而失去了船模设计本来的意义。这个事实说明，符号“”只能用于物理定律之后“”的引申。2122,lmmmccgllg或（6-26）2lFuPage16第七章用方程分析法导出相似准则作为实例，现在考察图右的“弹簧—质量—阻尼”系统。这时假定我们感兴趣的是借助模型来研究决定位移y。系统有7个变量：变量：量纲位移：L质量：FL-1T2阻尼系数：FL-1T弹簧刚度：FL-1初始速度v0：LT-1初始距离y0：L时间t：TPage17显然，表中除位移y外，均为独立变量因此，如考虑基本量纲数为3，则独立相似准则为：（7-1）-3=3个，所余者为非独立相似准则——位移π项，它反映着预测的内容。用方程分析法来决定相似准则时方法不外有二：相似转换法和积分类比法。Page181.相似转换法其步骤为：①写出现象的基本微分方程②写出全部单值条件，第一现象用“′”表示，第二现象用“″”表示，因此可得各参量的相似常数为：考虑物理条件相似时：考虑边界条件相似时：022kydtdydtydmmcmm'c'kckk'ycyy'tctt'（7-1）（7-2）（7-3）Page19考虑起始条件相似时(此时t=0)：③将微分方程按不同现象写出：④进行相似转换。将“″”参量用“′”参量代替，这时式（7-6）变为0'00c00'0ycyy0''''''2''2ykdtdydtydm022ykdtdydtydm0'''''2''2'2ykccdtdycccdtydmcccyktyutym（7-7）（7-6）（7-5）（7-4）Page20作相似变换时，为了保证基本微分方程（7-5）和（7-6）的一致性，式（7-7）各项系数必须彼此相等，即：故得两相似指标方程如下：yktytymcccccccc212mttytymccccccccc122mtkyktymcccccccc（7-10）（7-9）（7-8）Page21另一个相似指标方程要由分析起始条件建立，即当t=0时：，若这时考虑二现象，可得：也进行相似转换，得：0dtdy0yy'0'0''',yydtdy00,yydtdy10000ytyyvtycccccccc（7-11）Page22⑤将式（7-2）~（7-4）所表示的相似常数值代入（7-9）~（7-11）可得相似准则式为：此处，即为独立的相似准则。不变量mtmtmt'''不变量mktmtkmtk22'2''不变量000''0'0''0ytytyt002,,ytmktmt（7-12）（7-13）（7-14）Page23在本例情况下，非独立相似准则显然为，故汇同独立相似准则，可构成π关系式如下：π关系式具有如下特性：任何两个（或多个）π项的代数转变，如乘、除、加、减、提高或降低幂次，仍不改变原关系式的性质。但条件：①幂次不得降低或升高至零，②π项总数不得减少或增加（因为π项总数系由物理量总数和基本量纲数之差决定，是个定值）。π项关系式之所以具有如此特性，是因为：0yy),,(00210ytmktmtfyy（7-15）Page24①经过转换后的π项仍是无量纲综合数群；②对于本来就相似的二现象，因变π项π1仍然同关系式中原各独立π项构成函数关系；③所以，反过来也一样，如果二关系式中经过转变的π项仍一一对应，则二现象相似。Page252.类比积分法积分类比法是一种比较简单的办法，一般都用它来代替相似转换法。其步骤如下：①写出现象的基本方程（或方程组）及其全部单值条件，办法同前。②用方程中的任一项除其它各项（对于类似的项可只取其中一项）。故得：22/dtydmdtudy第一项第二项22/dtydmky第一项第三项（7-22）（7-21）Page26③将各项中涉及的导数用相应量比值，即所谓的积分类比来代替。就是说，将所有微分符号去掉，仅留下量本身的比值。本章实例中，就是以这时由（7-21）、（7-22）可得：如果某现象某量沿各轴有微分分量时，则只取一个轴上