用3.1.2用二分法求方程的近似解

3.1.2用二分法求方程的近似解对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.复习回顾：1.函数的零点的定义：结论:()0()()fxyfxxyfx方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点2.零点存在性判定定理y(x)[a,b](a)()0,y(x)(a,b)c(a,b)(c)0,c(x)0.fffbfff如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点.即存在，使得这个也就是方程的根复习回顾：思考?既然能知道一个函数在一定区间内有零点,能否想办法把区间长度进一步缩短?使范围越来越小,最终把它准确或近似地求出来?ab12abx122xbx二.新课引入1232xxx2342xxx以上方法是：通过不断的“取中点”，逐步缩小零点所在的范围.一般地，我们把称为区间(a,b)的中点.2abx3.1.2用二分法求方程的近似解二分法定义:对于区间[a，b]上连续不断，且f(a)•f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法（bisection）.end注意：二分法是求一元方程近似解的常用方法。用二分法求方程lnx+2x-6=0在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1).解:设f(x)=lnx+2x-6,设原方程的近似解为x0，∵f(2)=-1.30690，f(3)=1.098060，f(2)f(3)0，∴x0∈(2，3).取区间(2，3)的中点x1=2.5,算得f(2.5)=-0.0840，f(2.5)f(3)0，x0∈(2.5，3)，取区间(2.5，3)的中点x1=2.75，算得f(2.75)=0.5120，f(2.5)f(2.75)0，从而x0∈(2.5，2.75).例题讲解:取区间(2.5，2.75)的中点x1=2.625，算得f(2.625)=0.2150，f(2.5)f(2.625)0，从而x0∈(2.5，2.625)；取区间(2.5，2.625)的中点x1=2.5625，算得f(2.5625)=0.0660，f(2.5)f(2.6625)0，从而x0∈(2.5，2.5625)；因为|2.5-2.5625|=0.06250.1，所以原方程的近似解可取为2.5(或2.5625).精确度0.1的意思是：最后的区间跨度0.1二分法的解题步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：,给定精确度；⑴确定区间[a,b],验证()()0fafb⑵求区间(a,b)的中点；1x⑶计算f()；1x①若f(1x)=0，则1x就是函数的零点；②若1()()0fafx，则令b=1x(01(,)xax)；此时零点③若1()()0fxfb，则令a=1x(此时零点01(,)xxb)；⑷判断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷.注意：“精确度”与“精确到”的区别：精确度：是用二分法求函数的零点的专用术语，是指区间跨度的大小；精确到：是近似计算中的四舍五入的近似程度.1.(2014•南昌模拟)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5C练习问：二分法实质是什么？用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0ABDC练习利用二分法求函数零点的前提条件是:(1)函数y=f(x)在[a,b]上连续不断；(2)y=f(x)满足f(a)·f(b)0，则在(a,b)内必有零点.二分法找函数零点的口诀：周而复始怎么办?精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.口诀解：令f(x)=x3+3x-1,∵f(0)=-10,f(1)=30,则解在0,1之间。Xy110y=x3练习根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（0，1）f(0)0，f(1)00.5f(0.5)0（0，0.5）（0.25，0.5）（0.25，0.375）（0.3125,0.3725）f(0)0，f(0.5)0f(0.25)0，f(0.5)0f(0.25)0，f(0.375)00.25f(0.25)00.375f(0.375)00.3125f(0.3125)0f(0.3425)00.3425f(0.3125)0，f(0.3725)0因为|0.3125-0.3425|=0.030.1,原方程的近似解为x1≈0.3125.（0.3125，0.3425）f(0.3125)0，f(0.3425)0求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确度0.1)归纳总结用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤:第一步：寻找解所在区间(1)图象法:先画出y=f(x)图象,观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围;或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标的范围。(2)函数法:把方程均转换为f(x)=0的形式,求几个函数值来判断解所在的区间。第二步:不断二分解所在的区间,取区间的中点,逼近零点.第三步：根据精确度得出近似解.当x1∈(m,n)，且m-n满足精确度，即求得近似解。1.用二分法求函数f(x)=3x+3x-8在x∈(1,2)内近似解的过程中,计算得到f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0,则方程的根落在区间（）A.（1，1.25B.（1.25，1.5）C.（1.5，2）D．不能确定B练习2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是（）A.〔-2,1〕B.〔-1,0〕C.〔1,2〕D.〔0,1〕A3.(2014•惠州模拟)用二分法求方程lgx=3-x的近似解,可以取的一个区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）C4.下列函数中不能用二分法求零点的是（）A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=lnxC5.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)＜0,f(0.5)＞0,可得其中一个零点x0∈_____,第二次应计算_____．以上横线上应填的内容为（）A.（0，0.5），f（0.25）B.（0，1），f（0.25）C.（0.5，1），f（0.75）D.（0，0.5），f（0.125）A6.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1，3)内近似解的过程中取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.（1，2）或（2，3）D.不能确定A练习7.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x=x2的一个根位于下列区间的（）A.（0.6，1.0）B.（1.4，1.8）C.（1.8，2.2）D.（2.6，3.0）AC8.用二分法求f(x)=0的近似解(精确度0.1)，利用计算器得f(2)＜0，f(3)＞0,f(2.5)＜0,f(2.75)＞0,f(2.625)＞0,f(2.5625)＞0,则近似解所在区间是（）A.(2.5，2.75)B.(2.5625，2.625)C.(2.625，2.75)D.(2.5，2.5625)DC练习9.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．10.(2013•闵行区二模)用二分法研究方程x3+3x-1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确度0.1,精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．5.3用二分法求函数在区间(0,1)内的零点(精确到0.1).4.19.01.1)(23xxxxf解:由题设可知：0)1()0(,06.1)1(,04.1)0(ffff则所以，函数)(xf区间（0，1）内有一个零点.下面用二分法求函数在区间（0，1）内的零点取区间(0,1)的中点,5.01x55.0)5.0(f得).1,5.0(,0)1()5.0(0xff所以因为再取区间(0.5,1)的中点,75.02x32.0)75.0(f得).75.0,5.0(,0)75.0()5.0(0xff所以因为)6875.0,625.0(),75.0,625.0(00xx同理)6875.0,65625.0(0x1.003125.065625.06875.0所以f(x)的近似解为0.7.练习