§7.4.1平面向量的内积

7.3平面向量的内积7.3.1平面向量的内积设11(,),axy22(,),bxyaba1212(,),xxyyab1212(,),xxyy11(,)xy．两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以向量相应的坐标.向量的直角坐标运算则一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．向量的坐标用向量的坐标表示向量平行的条件1122()()axybxy，，，，若向量ab则12210xyxy．cosWsFcosF一个物体在力的作用下发生的位移，力与物体位移的夹角为.FsFs①力在位移方向上的分量是多少？F③功W是一个数量还是一个向量？②力所做的功W是多少？F数量θFs说出下列特殊角的余弦值：2350,,,,,,,,6432346动脑思考探索新知W＝｜F｜cosθ·｜s｜这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．两个非零向量夹角的概念记作:,ab=〈〉b则∠AOB叫做与的夹角．ab规定:0180在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．OABa（1）当时，与同向；0ba说明：记作；baba（2）当时，与反向；πba（3）当时，与垂直，π2ba注意：ab已知非零向量与，aOAbOB作，，向量的内积(数量积)的概念记作：②两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．说明：③两个向量的内积，写成；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．ba我们把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosabcosabab规定与任何向量的内积为0．0①这是一种新的运算，以前所学的运算律、性质是否适用需要验证．已知非零向量与，为两向量的夹角，ab,ab〈〉=向量的内积(数量积)的概念记作：根据向量内积的定义，我们可得到一些常用结论：我们把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosabcosabab规定与任何向量的内积为0．0已知非零向量与，为两向量的夹角，ab,ab〈〉=（1）当同向时，ab、abab（2）当反向时，ab、abab（3）当时，abab020,aaaaaababa（4）特别地0,00abab命题正确吗？向量的内积(数量积)的概念记作：我们把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosabcosabab规定与任何向量的内积为0．0已知非零向量与，为两向量的夹角，ab,ab〈〉=可以验证，向量内积满足以下运算律)()()(bababa⑶⑵⑴abbacbcacba)(注意：a·(b·c)≠(a·b)·c.一般地，向量的内积不满足结合律，即(4)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。巩固知识典型例题例1已知|a|＝3,|b|＝2,a，b＝60°，求a·b．解a·b＝|a||b|cosa，b＝3×2×cos60°＝3．巩固知识典型例题22例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求a,b．22||||222．abab解cosa,b＝由于0≤a,b≤180°，所以a,b＝135．运用知识强化练习14．3．1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,a,b＝30°，求(2a＋b)·b．639+．把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosab向量内积满足以下运算律)()()(bababa⑶⑵⑴abbacbcacba)(注意：向量的数量积运算不满足结合律.向量的内积(数量积)的概念向量的内积的运算律向量的内积的常用结论⑴当同向时，ab、ab,ab⑵当反向时，ab、ab,ab⑶当时，abab0.2,aaa特别地