《高数》定积分

第五章定积分教学目的要求:1、了解变上限定积分的性质，定积分的几何意义；了解广义积分及其解法。2、理解定积分的概念及其性质。3、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。学习重点和难点重点牛顿—莱布尼茨公式、定积分的计算难点变上限定积分，定积分的换元法求曲边梯形的面积xy0xai1ixixbxn)(xfy如下：具体做法称为曲边梯形。轴围的图形，及、与直线由连续曲线)(xbxaxxfy).21(][][1][(1)11110nixxxxxnbabxxxxanbaiiiinn，，，记为，每个小区间的长度个小区间分成，，把区间个分点中任意取，在分割、，xy0xai1ixixbxn)(xfy)21()()()(][)2(1nixfAxfxfAxxiiiiiiiiiii，，，来近似代替，即为底的小矩形的面积为高，以可用以，则小曲边梯形的面积一点上任取，在每个小区间近似、xy0xai1ixixbxn)(xfyniniiiixfAAAn11)(3)(的近似值，即便得曲边梯形面积，个小矩形的面积加起来把求和、niiiinixfAx101)(0max)4(lim时，和式当，大值为的，记小区间长度的最密为了保证分割是无限细取极限、iniibainiiiniiiiiiniiiiiinnxfdxxfbaxfxfxfxxxnixxxxxnbxxxxxanbabaxfy)()(][)()()(][max)21(][1][][)(1010111111210limlim上的定积分，记为，在此极限值为函数存在，则称，如果作和式，，，任取，记，，，，其长度记为，个小区间得到，个分点，中任意取，上有定义，在，在设函数定义限。称为积分下限和积分上，称为积分区间，，分变量，称为积称为被积表达式，称为被积函数，其中：babaxdxxfxf][)()(不可积。，在上可积，否则，称，在存在，则称、若几点说明：][)(][)()(110limbaxfbaxfxfniii上可积。，在限个间断点，则上有界，且只有有，在区间、设上可积。，在上连续，则，在区间设、：上可积的两个充分条件，在][)(][)(2)][)(][)(1)][)(baxfbaxfbaxfbaxfbaxfbababaduufdttfdxxfbaxf)()()(][)(2母表示无关，即而与积分变量用什么字有关，，及积分区间值仅与被积函数式极限，它的定积分是一种特定的和、abbadxxfdxxfbaba)()(3时，规定，当定义中假定了、0)(4badxxfba时，规定当、定积分的几何意义的几何意义如下：，其定积分上的连续函数，对于区间)(][xfba的面积。轴所围成的曲边梯形及，与直线表示由曲线时，定积分当、xbxaxxfydxxfxfba)()(0)()1负值。成的曲边梯形的面积的轴所围及，与直线表示由曲线时，定积分当、)()(0)()2xbxaxxfydxxfxfbaxyab)(xfyxyab1A2A3A)()()()()3321AAAdxxfxbxaxxfydxxfxfbaba的代数和，即轴所围成平面图形面积及，与直线表示由曲线定积分既取正值又取负值时，当、由定积分的几何意义知：xy1121xy21112πdxxxyxy012110xdx定积分的性质.][)()(上都是可积的，在、假定函数baxgxfbabadxxfkdxxkfkk)()()(1可提到积分号外，，为常数被积函数中的常数因子性质限个代数和的情形。这一结论可以推广到有定积分的代数和，分等于它们两个函数代数和的定积性质bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([2bccabadxxfdxxfdxxfbac)()()(][(3，则，设积分区间的可加性）性质bb)()()()(][4aadxxgdxxfxgxfba，则上，若，在区间性质abdxxfxfba)(1)(5，则若性质理又称为定积分的估值定则上的最大值和最小值，，在分别是函数和设性质)()()(][)(6abMdxxfabmbaxfmMba))(()()][)(7abfdxxfbabaxfba，使得内至少存在一点，（上连续，则在，在设函数（积分中值定理）性质例题1利用定积分的性质，比较下列积分大小1031021)dxxdxx与103102322320)1(1][0dxxdxxxxxxxx即，内，，解：在区间43243)lnln2)dxxxdx（与432432)(lnln0)ln1(ln)(lnln0ln14][3dxxdxxxxxxx，则内，，在区间解：例题2估计下列各积分的值4542)sin(11)ππdxx4542222)sin1(4451)(2112(sin1)(]454[πππππππ积分区间π，）π为之最大值和最小值分别上，函数π，π在区间解：dxxabfmfMxxf2022)dxexx22)(210)()12()()2(1)0(2][0)(:2204124121)21(22222edxeeeMeemxfxxfxexfeffexfxxxxxx最大值，取得最小值时，，得，令又，最小值为上最大值与，，在区间设解变上限积分函数xaxaxaxabaxdttfxtbaxdxxfxxdxxfxdxxfxaxfbaxbaxf][)()(][)()()()(][)(][][)(，，则有，变量改为，为避免混淆，把积分，，变上限积分函数，记为的函数，称为是一个关于上限因此的变化而变化，存在，且随上限积分上必可积，即定，在，，任一上连续，则对，在设函数定义)()(][)()(][)(xfxbadttfxbaxfxa可导，且，在则变上限积分函数上连续，，在如果函数定理证明：见pag.102Cdttfdxxfxfdttfxbaxfxaxa)()()()()(][)(函数，因此的一个原就是连续，则上，在由定理可知，如果函数例题求下列函数的导数bxdttxF21)()1111222xdttdxddttdxdxbbx解：dttxFx20311)()26303212211211:xxxuxdttduddxdududFuxu，则设解22cos)(3)xxdttxFcoscos2cos2coscoscoscoscoscoscoscos)(242422222222222xxxxxxdttdxddttdxddxdFdttdttdttdttdttxFxaxaxaxaxaaxxx解：200)1ln(limxdttxx求极限例题达法则，有”型不定式，利用洛必为“，此时极限时，解：000)1ln(00xdttx21211)00(2)1ln()())1ln(()1ln(limlimlimlim00200200xxxxdttxdttxxxxxx牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz)公式)()()()(103.)()()()()(][)(aFbFabxFdxxfpagaFbFdxxfxfxFbaxfbaba写为为了方便起见，公式常证明：见的一个原函数，则是上连续，，在设函数定理例题求下列定积分adxxx02)131)（aaaxxxdxxxaa2301112022111123)13（解：10242)xdx60arcsin21arcsin2arcsin410102π解：xxdxdxx3)111001xxxxx，，解：1212122)(100122100111xxxdxdxxdxxdxxsin4)20π0ππ2xyπππ解：20sinsinsinxxxxx4)1(111cos2cos]0cos[coscoscos)sin(sinsin200220ππππππππππxxdxxxdxdxxdxx1215)莱布尼茨公式，有—，所以按牛顿，，现在积分区间是见原函数是的时，在基本积分公式中，当解：]12[)79.(ln10pagxxx2ln2ln1lnln1212xxdx202)(11211)(6)dxxfxxxxxf求时，当时，当设38]18[611213121)2(21)1()(2110322211020xxxdxxdxxdxxf解：注意在使用牛顿—莱布尼茨公式求定积分时，被积函数必须连续的，否则会引出错误的结论，见教材pag.104.定积分的换元积分法（换元必换限）4111xdx例题241122txtxtdtdxtx，；，，，设解：32ln22)1ln(2121112121212121212141tttdtdtdtttdtttxdx)0(2022adxxaa例题200cossin:π，；，；，设解taxtxtdtadxax4021222sin212)2cos1(2cos222022022022022aattadttatdtadxxaaπππππ312213xxdx例题4133sectan2π，；π，；，设解：txtxtdtdxtx3322sin1sin)(sinsincossectansec13434234234223122ππππππππtttddttttttdtxxdx5.8pag.106.例题证明：见0)()()2)(2)()(1)0(][)(0aaaaadxxfxfdxxfdxxfxfaaaxf为奇函数，则若为偶函数，则若），求证：上连续，在设0cos113xdxx例如：定积分的分部积分法babavduuvudvbaxvxuba][)()(连续导数，则有上有，在、设函数定理方法幂三（指）选幂幂反（对）选反（对）三角指数可任选可化简容易凑dudv出现循环移项解exdxx1ln1例题2ln2xvxdxdvxdxduxu，；，解：)1(41221ln221ln2ln222121111exxxxdxxxxdxxeeeee20sin2π例题xdxexxvxdxdvdxedueuxxcossin:，；，解1(21sinsinsincoscoscossin220202020202020）ππππππππexdxexdxexexexdxexexdxexxxxxxx103dxex例题，于是，；，当，，则设解：110022uxuxududxuxux2)22(222222210101010101010eeeuedueueudeuduedxeuuuuuuxdxexx354例题3131)(31331103103310233331033103xxxxxxeexxdeexdxexex33)(323xxeveddvdxxduxu