《高数》导数的应用

第三章导数的应用教学目的要求1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。2、理解函数极值的概念。3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调性、凹凸性；求函数的极值、最值。学习重点和难点重点未定式的极限，函数的单调性、凹凸性、极值，导数在实际中的应用。难点导数在实际中的应用。罗尔（Rolle)定理xyABab12.0)()()(3)(2][1)(fbabfafbabaxf，使得少存在一点）内至，则在开区间（，数值相等，即在区间端点的函）可导；内，在开区间）连续；上，在闭区间）满足下列条件：若函数中值定理0)1(201022)()(10)2()0(3)22)(20)(2]20[)(102)(1]20[102)(22fxxxfxfffxxfxfxfxxxfxxxf）内，就有，显然，在（得令件满足罗尔定理的三个条故）内可导，且，在（）上连续；，在区间的初等函数，故）上，是定义在（）解：上的正确性。，在区间数验证罗尔中值定理对函例拉格朗日（Lagrange)中值定理xb12ayAB。平行于弦线使得曲线在该点处的切，上至少有一点在公式改写定理的几何意义。，使得内至少存在一点，则在开区间内可导，，在开区间上连续；，在闭区间）满足下列条件：如果函数ABABabafbffabfafbfbababaxf)()()())(()()()()(2)][1)(柯西（Cauchy)中值定理))()(()()(1)()()()(.)()()()()()()()()(3)(2][1)()(baabfafbfxFabaFbFxxFABFfaFbFafbfbabaxFbabaxFxf上式就可以写成，，，那么注：取于两端点的连线。该点处切线平行弧上至少存在一点，在在曲线定理的几何意义。，使得内至少有一点，则在内的每一点均不为零，，在）内可导；，在开区间）连续；，在闭区间上）满足下列条件：与若函数法则洛必达)(HospitalL的方法。是求这类极限简便有效下面介绍洛必达法则就。能存在，也可能不存在”型的未定式的极限可”、“对“00”型未定式的极限“00）或），则或）；可除外）可导，且的某邻域内（点在和）；，）若()()()()(()()(30)()()(20)(0)(1limlimlimlimlim0000000AxgxfxgxfAxgxfxgxxxgxfxgxfxxxxxxxxxx)0(sinsin1lim0bbabxaxx是常数，且、例题babxbaxabxaxxxcoscossinsin00limlim00有”型，由洛必达法则，“解：30sin2limxxxx例题”“00)1sin(616sin)00(3cos1sinlimlimlimlim002030xxxxxxxxxxxxx解：23266123331231233limlimlimlim122123312331xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：例题)1(21211)1ln()1ln(4limlimlimlim002020xxxxxxxxxxxx解：例题”型未定式的极限“）或），则或）；可导，且可除外）的某邻域内（点在和；，）若()()()()(()()(30)()(g)()2)()(1limlimlimlimlim0000000AxgxfxgxfAxgxfxgxxxxfxgxfxxxxxxxxxx)0(ln1limnxxnx求例题)(22limxxexx求例题011lnlimlimlim1nxnxnxnxnxxxxx型，由洛必达法则，有时这是解：22limlimlim2xxxxxxexexe解：其他型未定式的极限”型来解决。”型和“为“”等型的未定式，可化“”，”，“”，“”，“其他尚有“0001000)0(ln1lim0nxxnx求例题型)0(0)(1lnln0(1lnlnlimlimlimlim01000nxnxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnn）时，解：)tan(sec2lim2xxxπ求例题型)(0)sincos()cossin1()tan(sec002(cossin1tanseclimlimlim222xxxxxxxxxxxxxxπππ）时，π解：xxx111lim3求例题型)1(1111111ln1ln111111limlimlimlimlim111)00(1lnlimln11ln，1exxxxeexxxyxyxxxxxxxxxxxxx而故则设解：xxxlim04求例题型)0(01lim0)(11)(1lnlnlimlnln0ln002000lnln0000limlimlimlimlimlimlimeexxxxxxxxeexxxyxyxxxxxxxxxxxxxxxxxx而故则，设ππ求例题xxx22)(tan5lim型)(01)(tan0102cos222(2)00(2sin)22(2sectan121tanlntanln2(tanln2(ln)(tan02222222222limlimlimlimlimlimexxxxxxxxxxxxxxyxyxxxxxxxxπππππππππ）π（π））（ππ）而π），则设解：函数的单调性xxyy)(xfy)(xfyAABBabab导数的正负号判断函数的单调性单调减少。，在区间，则如果）单调增加；，在区间，则如果）内可导，，上连续，在，在设函数定理)()(0)(2)()(0)(1)(][)(baxfxfbaxfxfbabaxfy的单调区间。确定函数例题3)(13xxxf）上单调减少。，）上单调增加，在（，（）与，在区间（）结论：函数单调增加。，），，在（单调减少。，），，在（单调增加。，），，在（）），）、（，）、（，分成（的定义域则，，，得令，的定义域）解：1111)(4)(0)(1)(0)(11)(0)(131111)(110)()1)(1(333)(2)][3)(12123xfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxxfxxxf的单调区间确定函数例题232xy32xyxy单调增加。，），，在（单调减少。，），，在（），）及（，（）分成二个部分，把（但时，导数不存在。当，），的定义域（解：)(0)(0)(0)(0000032)()(332xfxfxfxfxxxxfxxf的单调区间确定例题)(33xxf单调增加。）内，在（，所以外，除）内，，但在（，得，令），定义域为（解：323)(0)(000)(3)()(xxfxfxxxfxxfxxf3xyxy)ln(10)1ln()0(0)(0)0()(0)(01111)()1ln()()1ln(0xxxxxxffxfxfxxxxxfxxxfxxx即由此得到，单调增加，而函数，时，，当设证：时，当证明：函数的极值称为极值点。值的点为极值。使函数取得极极大值与极小值统称的一个极小值。函数的是则称，均有，对此邻域内任意一点一个极大值；同样，若的是函数，则称均有，（内任意一点内有定义，若对此邻域某邻域在点设函数极值的定义)()()()()()()()()())(00000000xxfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxxxfxya1x)(1xf2x)(2xf3x)(3xf4x)(4xf5x)(5xfb点处不能取得极值。区间内部，在区间端函数的极值一定出现在）极小值大。函数的极大值不一定比体的概念。局部的概念，而不是整）极值是一个注：32)1函数极值的判定与求法定理（极值存在的必要条件）0.)()()(0000xfxxfxxxf的导数在点取得极值，则函数可导，且在点在点若函数的驻点。的实根）叫做函数程使函数为零的点（即方)(0)(xfxf值点。却不是这函数的极点，但是这可导函数的因此值点。例如极函数的驻点却不一定是点。但反过来，的极值点必定是它的驻可导函数000)0(.3)(.)()(23xxfxxfxxfxf3xyxy定理（极值的第一充分条件）不是极值点。不变号，）是极小值点；由负变正，那么）是极大值点；由正变负，那么）时，如果由小变大经过当的某一邻域内可导，连续，在点在点设)(3)(2)(1)(000000xxfxxfxxfxxxxxf求函数的极值点和极值的步骤：中求出极值。点代人函数）把极值。的增减性，确定极值点负号，从而判断出函数断导数的正区间，在每个区间上判点将定义域分成若干个用驻点及不可导列表）；的全部驻点和不可导点求出，，令求导数）的定义域；求函数）)(4:3)(0)()(2)(1xfxfxfxfxf的极值求函数例题593)(23xxxxf.22)3(3)(.10)1(1)(0)(030110)(03011)3)(1(3)(3)310)()3)(1(3963)(2))()(1212fxxffxxfxfxxxxfxxxxxxfxxxfxxxxxfxf处取得极小值，在同理，处取得极大值，在因而，；故，，的右侧邻近时，在当；故，，的左侧邻近时，在当的符号：确定，，求得驻点令，的定义域函数）解：定理（极值的第二充分条件）为极值点。分条件来判断其是否点，需用极值的第一充及不可导的驻点对于使注：极小值。取得在点，则如果）极大值；取得在点，则如果），，且处有二阶导数，在点设0)()(0)(2)(0)(10)(0)()(000000000xxfxxfxfxxfxfxfxfxxf的极值求函数例题593)(23xxxxf.22)3(3)(012636)3(10)1(1)(0126)1(6)1(3310)(.66)()3)(1(3963)(2)()(121212fxxfffxxffxxxfxxfxxxxxfxf值为处取得极小值点，极小在，所以当；值为处取得极大值点，极大在，所以当）；，得驻点，令，），的定义域为函数）解：的极值求函数例题1)1()(32xxf0)0(0)(06)0(4))15)(1(6]2)1(2)1[(6)(3)1010)()1()1(62)1(3)(2)(12222223212222fxxffxxxxxxxfxxxxfxxxxxxfxf极小值点，极小值为处取得在，因；，，得驻点，令）），的定义域为（）解：xy0111)1()(32xxf极值。处也没有在同理处没有极值。在所以的符号没有改变，因为；右侧邻近的值时，取当；左侧邻近的值时，取当左右邻近的符号：及在驻点导数无法判别，考察一阶，因1)(1)()(0)(10)(111)(0)1()1(5)31xxfxxfxfxfxxfxxxxfff极值。处也没有在同理处没有极值。在所以的符号没有改变，因为；