3.1.1两角差的余弦公式(公开课)汇总

3.1.1两角差的余弦公式临沂一中李玲POXYα1、已知OP为角的终边，求单位圆上向量的坐标.PO复习回顾cosθbaba=•其中θ∈[0，π](),,11yxa=()22,yxb=2、两个向量的数量积2121yyxxb+=•a复习回顾.如图所示，一个斜坡倾斜角为45˚，已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60˚，且大小为10N，在力F的作用下，物体沿斜坡运动了3m，求F做的功.45˚60˚F)45-cos(60lF=Woo••o30cos-cos30≠)30-cos(30ooo思考1：设α，β为两个任意角,你能判断恒成立吗？βαβαcoscos)cos(=sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)思考2：我们设想的值与，的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？2121-2121232323232321)cos(βααβ思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？βsinαsinβcosαcos)β-αcos(+=xyPP1MBOACsincos+11βαcoscosβsinαsinβα设α，β为锐角，且α＞ββsinαsinβcosαcos)β-αcos(+=α思考4：上述推理能说明对任意角α,β都有成立吗？βsinαsinβcosαcos)β-αcos(+=思考5：根据的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？βsinαsinβcosαcos+α，β为锐角，且α＞β两角差的余弦公式.gsp思考6：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则A、B点的坐标是什么？BOAxyαβθβsinαsinβcosαcos)β-αcos(+=)αsin,α(cosA)sin,(cosββB思考7：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？BOAxyαβθZ∈k2kπ＋θ＋β＝α，Zkπ,2θ-βα∈+=k或βsinαsinβcosαcos)β-αcos(+=.如图所示,一个斜坡倾斜角为45˚，已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60˚，且大小为10N，在力F的作用下，物体沿斜坡运动了3m，求F做的功.°••cos15lF=W问题解决45˚60˚F分析:cos15cos4530cos15cos6045426+=思考：①sin75˚②sin15˚=sin(90˚-15˚)=cos15˚=sin(90˚-75˚)=cos75˚=cos(120˚-45˚)42--6=1．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为()A．0B.12C.32D．－122.cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________变式训练B211、把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式求解.利用公式求值的一般思路:2、在转换过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边，然后逆用公式求值.sin，4=5例2.已知cos，5=-13是第三象限角，求的值.)β-αcos(π),,2π(∈απ),(0,∈α结合角的范围，注意符号，求出某种三角函数值.分析：要计算，应作哪些准备？)cos(βα巩固提高，且已知)2π,0(∈β,α,4111)βαcos(,71αcos=+=.βcos的值求.的值求β,71=cosα)2π(0,∈α，解：.734=αcos-1=sinα∴2，，1411)βαcos(),2π(0,∈βα又=+.1435)βα(cos-1)βαsin(),,0(2=+=+∈+∴πβα.21734143571)1411-(sin)sin(cos)cos()-cos(cos=×+×=+++=+=αβααβααβαβ从而3π=β∴),2π(0,∈β又让已知服务未知，配凑角！思考已知α，β均为锐角，sinα＝817，cos(α－β)＝2129，求cosβ的值．思考设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2.1.在差角的余弦公式的形成过程中，数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.αβαβ-)(+=3π-)3π+(α=αβα，