兰交课件系统辨识-第3章(线性系统的经典辨识方法1)

第三章线性系统的经典辨识方法3.0经典的辨识方法常用的非参数模型频率响应模型以频率为自变量的实验曲线脉冲响应模型以单位脉冲信号作为激励信号的响应曲线，时间作为自变量阶跃响应模型以单位阶跃信号作为激励信号的响应曲线，时间作为自变量常用的参数模型输入输出模型状态方程辨识方法的分类非参数模型辨识方法—经典辨识方法参数模型辨识方法—现代辨识方法3.0经典的辨识方法非参数模型辨识方法即经典辨识方法特点：假定线性的前提下，不必事先确定模型结构，可适用于任意复杂的线性过程。方法：通过施加特定的实验信号，通过测定过程输出，可求得这些非参数模型。进而获得参数模型－传递函数参数模型辨识方法即现代辨识方法特点：形式简洁，辨识前一般需要有一定的先验知识方法它必须假定一种数学模型，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。若结构参数未知（阶次、纯延迟），则应用结构参数辨识方法先确定结构参数。(最小二乘类方法、梯度校正法、极大似然法)3.0经典的辨识方法主要有如下几种：阶跃响应法脉冲响应法频率响应法相关分析法谱分析法3.0.1阶跃响应法实验测取过程的阶跃响应合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小,测试结果不可靠，过大影响正常工作甚至危及生产安全。试验开始前应处于稳定工况。并避免其它扰动。考虑到实际系统的非线性，应在不同负荷、不同设定值、不同极性下多次测定。至少有两条以上的曲线基本一致。原理u(t)=u1(t)+u2(t)线性系统符合叠加原理y(t)=y1(t)+y2(t)=y1(t)-y1(t-Δt)y1(t)=y(t)+y1(t-Δt)3.0.2矩形脉冲法Δtt0tutu2(t)u1(t)u(t)用逐段递推的作图法，即可得到阶跃响应y1(0)=y(0)y1(1)=y(1)y1(2)=y(2)+y1(1)y1(3)=y(3)+y1(2)y1(4)=y(4)+y1(3)3.0.3由阶跃响应确定近似传递函数方法近似法半对数法切线法两点法面积法阶跃响应只能确定较简单的传递函数。当阶跃响应曲线比较规则时，近似法，半对数法、切线法、两点法都能比较有效地导出传递函数。3.0.3由阶跃响应确定近似传递函数一阶惯性环节加纯延迟(切线法)K由输入输出稳态值直接确定，τ和T由拐点作切线确定。切线法作切线时随意性很大，故精度很差，一般只用于粗略估计。SeTsKsG1)(TτABpy(∞)t0y3.0.3由阶跃响应确定近似传递函数一阶或n阶惯性环节加纯延迟（两点法）K的确定同切线法将y(t)转换成无量纲形式0tτy*(t)=y(t)/y(∞)＝1-exp[-(t-τ)/T]t=τSeTsKsG1)(ABpy(∞)t0yt1t2•给定t1、t2两点•得到两个方程，解出两个τ和T。•为方便可取y*(t1)=0.39，y*(t2)=0.63得T=2(t2-t1)，τ=2*t1-t2•可再取两个点进行进行校验，以提供数据的可靠性。1t0y*(t)0.630.39t1t23.0.3由阶跃响应确定近似传递函数无延时二阶系统G(s)=1/(T1s+1)(T2s+1)阶跃响应：y2*(t)=1-T1/(T1-T2)*exp(-t/T1)-T2/(T2-T1)*exp(-t/T2)两个点确定两个方程，解两个变量T1、T2。3.0.4脉冲响应确定传递函数由脉冲响应确定传递函数一阶系统KG(s)=-----------Ts+1g(t)=K/T.e-t/Tlog(g(t))=log(K/T)-t/TT.LogK/TLogg(t)0LogK/T3.0.4脉冲响应确定传递函数由脉冲响应确定传递函数二阶系统ω02G(s)=----------------------s^2+2ξω0s+ω02tetgt20201sin11)(0222020)(lnln)()(1212RRAARTTnA(+)为正面积之和，A(－)为负面积之和g(t)T/2tTTn0ξ13.1用M序列辨识线性系统的脉冲响应(相关法）相关法：根据维纳-霍夫积分方程，利用输入信号的自相关函数和输入与输出的互相关函数确定系统脉冲相应的方法。采用白噪声作为实验信号，利用相关法可以很容易地确定系统的脉冲响应。由于理想的白噪声难以获得，采用周期性的伪随机信号作为输入信号可以使计算变得简单.利用M序列，由维纳-霍夫积分方程可得(3.1.1)两端进行积分可得NNNxxxydgNgNNdgNNNdRgdRgR02202200)()(1)()(1)()()()()(即NNNNxydgNdgNNdgNNdR0202020)(1)()(1)(NxyNdRdgNa002)(1)(NxyxydRgNNR02)(1)(1)(解出为（3.1.7）或（3.1.8）式中（3.1.9）可近似计算（3.1.10）NxyxydRRNNg02)(1)(11)(02)(11)(gRNNgxyNxydRNNg0220)(11)(110)()(NixyNxyiRdR计算：设系统的采样周期与M序列的时钟脉冲间隔Δ相同，τ为Δ的整数倍，则有(3.1.11)(3.1.12)0020(1)11()()()()()1()()()()()()TTxyNNRxtytdtxtytdtTNxtytxtytdtxtytdtN)(xyR11)()(1)(NixyiyixNR可按式（3.1.12）计算Rxy(τ)，也可把x(iΔ)改写成式中sgn表示符号函数，于是)(sgn)(ixaix10)()(sgn)(NixyiyixNR为了提高计算互相关函数的准确度，可以多输入几个二电平M序列，利用较多的输出值计算互相关函数。一般地，输入r+1个周期二电平M序列，记录r+1个周期输出的采样值，则(3.1.15)10)()(1)(rNixyiyixrNR对应于不同的τ值，上面的算法每次只能计算出脉冲响应g(τ)的1个离散值。要想获得g(τ)的N个离散值，则需要计算N次。下面给出能够1次计算g(τ)的N个离散值的计算公式。由连续的维纳-霍夫积分方程（3.1.16）可得离散的维纳-霍夫方程（3.1.17）式中τ=µ△。0)()()(dRgRxxy10)()()()(NkxxyxykRkgRR则式（3.1.17）可写为设)18.1.3()()()(10NkxxykRkgR)1()1()0()1()1()0(NRRRNgggxyxyxyxyRg)0()2()1()2()0()1()1()1()0(xxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRRRxy1xyRRΔ1gRgΔR则根据式（3.1.18）可得（3.1.21）在一般情况下，求逆阵很麻烦，但对于M序列来说，计算R-1比较容易。二电平M序列的自相关函数为(3.1.22)xy1xyRRΔ1gRgΔR11,0,)(22NkNkkRx由式（3.1.22）和式（3.1.20）可得（3.1.23）这是一个N阶方阵，其逆阵为(3.1.24)1111111112NNNNNNR211121112)1(2NN1R把式（3.1.24）代入式（3.1.21）可得（3.1.25）可以表示为（3.1.26）式中。xyRg211121112)1(2NN)1()1()0()1()1()(1)(rNyyyrNxxxrNxyRxy1xyRRΔ1gRgΔR设（3.1.27）)()2()1()2()0()1()1()1()0()1()1()0()1()1()0(NrNxNxNxrNxxxrNxxxNRRRrNyyyxyxyxyXRYxy则根据式（3.1.26）可得（3.1.28）于是有（3.1.29）用M序列做实验时，利用式（3.1.29）在计算机上离线计算，一次可求出系统脉冲响应的N个离散值。这种算法的缺点是数据的存储量大。为了减少数据的存储量，可采用递推算法。XYRxyrN1XYg211121112)1(12Nr设进行了m次观测，。由m次观测值得到的用来表示，则(3.1.30)上式为互相关函数的递推公式，可根据m-1次观测所求得的及新的观测数据和,按式(3.1.30)递推地计算出。由式(3.1.25)得)1,()()(11)1,()()(11),(0mRmxmymmRkxkymmRxyxymkxy(3.1.31)考虑到式（3.1.30），则有（3.1.32）),1(),1(),0(211121112)1(2mNRmRmRNNxyxyxymg)1,1()1,1()1,0()1()1()()(11)1,1()1,1()1,0(211121112)1(2mNRmRmRNmxmxmxmymmNRmRmRNNxyxyxyxyxyxymg（3.1.33）按递推公式（3.1.33），可从gm-1及新的观测数据得到gm，随着观测数据的增加，gm的精确度不断提高。所以可利用式（3.1.33）对脉冲响应进行在线辨识。1m1mmggg)1()1()()(211121112)1(112NmxmxmxmyNNm3.2用脉冲响应求传递函数利用脉冲响应可以求连续系统的传递函数和离散系统的脉冲传递函数。3.2.1连续系统的传递函数G（s）任何一个单输入-单输出系统都可以用差分方程来表示。若系统的输入为函数，则输出为脉冲响应函数g(t)。因函数只作用于t=0时刻，而在其它时刻系统的输入为0，故系统的输出是从t=0开始的脉冲响应函数g(t)。如果采样间隔为，并设系统可用n阶差分方程表示,则(3.2.1)式中为待定的n个常数。根据式（3.2.1），将时间依次延迟，可写出n个方程，即联立求解上述n个方程，可得差分方程的n个系数。0)()()(0010ntgatgatgn)()()2()(000201tgntgatgatgan)())1(()3()2(000201tgntgatgatgan))1(()2())1(()(000201ntgntgantgantgan任何一个线性定常系统，如果其传递函数G(s)的特征方程根为，则其传递函